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114 台大微積分 C 第 6 題

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114學年度 · 114微積分C · 第 6 題

題目

Problem

Consider the differential equation dydx=y−2x\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y - 2x.

(a) Suppose that f(x)=mx+bf(x) = mx + b is a solution to the differential equation. Find the values of mm and bb.

(b) Find the most general solution using the formula for linear differential equations: y′+P(x)y=Q(x)  ⟹  y=1I(x)(∫I(x)Q(x)dx+C)y' + P(x)y = Q(x) \implies y = \frac{1}{I(x)} \left( \int I(x) Q(x) \mathrm{d}x + C \right) where I(x)=exp⁡(∫P(x)dx)I(x) = \exp \left( \int P(x) \mathrm{d}x \right).

解答

(a)

解法一：代入比較係數

思路

展開
  1. 題目已經指定解的形式為 f(x)=mx+bf(x)=mx+b。
  2. 將 y=mx+by=mx+b 與 y′=my'=m 代回微分方程。
  3. 由於等式對所有 xx 都成立，比較 xx 的係數與常數項即可。

答題過程

展開

若 y=mx+by=mx+b，則 y′=my'=m。代入

y′=y−2x\begin{align*} y'=y-2x \end{align*}

可得

m= (mx+b)−2x= (m−2)x+b\begin{align*} m =&\, (mx+b)-2x \\[4mm] =&\, (m-2)x+b \end{align*}

比較係數：

m−2=0,b=m\begin{align*} m-2=0,\qquad b=m \end{align*}

因此

m=2,b=2\begin{align*} m=2,\qquad b=2 \end{align*}

(b)

解法一：使用題目給的線性微分方程公式

思路

展開
  1. 先整理成 y′+P(x)y=Q(x)y'+P(x)y=Q(x) 的形式。
  2. 本題是 y′−y=−2xy'-y=-2x，所以 P(x)=−1P(x)=-1、Q(x)=−2xQ(x)=-2x。
  3. 積分因子 I(x)=e−xI(x)=e^{-x}，代入題目公式即可。

答題過程

展開

原式整理為

y′−y=−2x\begin{align*} y'-y=-2x \end{align*}

所以

P(x)=−1,Q(x)=−2x\begin{align*} P(x)=-1,\qquad Q(x)=-2x \end{align*}

積分因子為

I(x)= exp⁡(∫−1 dx)= e−x\begin{align*} I(x) =&\, \exp\left(\int -1\,\mathrm{d}x\right) \\[4mm] =&\, e^{-x} \end{align*}

代入公式：

y= ex(∫e−x(−2x) dx+C)\begin{align*} y =&\, e^x\left(\int e^{-x}(-2x)\,\mathrm{d}x+C\right) \end{align*}

而

∫−2xe−x dx=2e−x(x+1)\begin{align*} \int -2xe^{-x}\,\mathrm{d}x =2e^{-x}(x+1) \end{align*}

所以

y= ex(2e−x(x+1)+C)= 2x+2+Cex\begin{align*} y =&\, e^x\left(2e^{-x}(x+1)+C\right) \\[4mm] =&\, 2x+2+Ce^x \end{align*}

因此最一般解為

y=Cex+2x+2\begin{align*} y=Ce^x+2x+2 \end{align*}

解法二：齊次解加特解

思路

展開
  1. 線性方程 y′−y=−2xy'-y=-2x 可以拆成齊次解與特解。
  2. 齊次方程 y′−y=0y'-y=0 的解是 CexCe^x。
  3. 右邊是一次式，所以特解可猜 yp=ax+by_p=ax+b，這其實會接回 (a) 的結果。

答題過程

展開

先解齊次方程：

y′−y=0⇒yh=Cex\begin{align*} y'-y=0 \quad\Rightarrow\quad y_h=Ce^x \end{align*}

再找一個特解。設

yp=ax+b\begin{align*} y_p=ax+b \end{align*}

則 yp′=ay_p'=a。代入 y′−y=−2xy'-y=-2x：

a−(ax+b)= −2x\begin{align*} a-(ax+b) =&\, -2x \end{align*}

比較係數：

−a=−2,a−b=0\begin{align*} -a=-2,\qquad a-b=0 \end{align*}

所以

a=2,b=2\begin{align*} a=2,\qquad b=2 \end{align*}

因此 yp=2x+2y_p=2x+2，最一般解為

y=yh+yp=Cex+2x+2\begin{align*} y=y_h+y_p=Ce^x+2x+2 \end{align*}