題目

Problem

Given that the Maclaurin series of $\sin x$ is $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ .

(a) Explain why this fact leads to $\frac{\sin x}{x} \approx 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120}$ for small positive $x$ -values.

(b) Sketch the graph of $f(x) = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120}$ . Label the local extrema and inflection points.

解答

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由題目已知

\begin{align*} \sin x =&\, \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\[4mm] =&\, x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots \end{align*}

當 $x\neq 0$ 時，兩邊同除以 $x$ ：

\begin{align*} \frac{\sin x}{x} =&\, 1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\cdots \\[4mm] =&\, 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-\cdots \end{align*}

所以對很小的正 $x$ 而言，可以取前面幾項作近似：

\begin{align*} \frac{\sin x}{x} \approx 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120} \end{align*}

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令

\begin{align*} f(x)=1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120} \end{align*}

先求一階導數：

\begin{align*} f'(x) =&\, -\frac{x}{3}+\frac{x^3}{30} \\[4mm] =&\, \frac{x(x^2-10)}{30} \end{align*}

所以臨界點為

\begin{align*} x=0,\qquad x=\pm\sqrt{10} \end{align*}

再求二階導數：

\begin{align*} f''(x) =&\, -\frac{1}{3}+\frac{x^2}{10} \end{align*}

令 $f''(x)=0$ ，可得

\begin{align*} x=\pm\sqrt{\frac{10}{3}} \end{align*}

計算局部極值：

\begin{align*} f(0) =&\, 1 \\[4mm] f(\pm\sqrt{10}) =&\, 1-\frac{10}{6}+\frac{100}{120} \\[4mm] =&\, \frac{1}{6} \end{align*}

因此局部極大點為

\begin{align*} (0,1) \end{align*}

局部極小點為

\begin{align*} \left(\pm\sqrt{10},\frac{1}{6}\right) \end{align*}

接著計算反曲點高度：

\begin{align*} f\left(\pm\sqrt{\frac{10}{3}}\right) =&\, 1-\frac{1}{6}\cdot\frac{10}{3} +\frac{1}{120}\cdot\frac{100}{9} \\[4mm] =&\, \frac{29}{54} \end{align*}

所以反曲點為

\begin{align*} \left(\pm\sqrt{\frac{10}{3}},\frac{29}{54}\right) \end{align*}

描圖時：圖形是偶函數，左右對稱；兩端向上；在 $(0,1)$ 有局部極大，在 $\left(\pm\sqrt{10},\frac{1}{6}\right)$ 有局部極小，並在 $\left(\pm\sqrt{\frac{10}{3}},\frac{29}{54}\right)$ 改變凹向。