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114 台大微積分 C 第 4 題

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114學年度 · 114微積分C · 第 4 題

題目

Problem

Evaluate.

(7) ∫02∫x24∫0xsin⁡(y2)2025dzdydx=(7)‾\displaystyle \int_{0}^{2} \int_{x^2}^{4} \int_{0}^{x \sin(y^2)} 2025 \mathrm{d}z \mathrm{d}y \mathrm{d}x = \underline{\quad(7)\quad}.

(8) ∫01∫∣y∣2−y2(x2+y2)3/2dxdy=(8)‾\displaystyle \int_{0}^{1} \int_{|y|}^{\sqrt{2-y^2}} (x^2+y^2)^{3/2} \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \underline{\quad(8)\quad}.

解答

(7)

解法一：交換積分順序

思路

展開
  1. 先對 zz 積分後會剩下 sin⁡(y2)\sin(y^2)。
  2. 若照原順序對 yy 積分，會遇到沒有初等反導函數的型態。
  3. 因此要交換 x,yx,y 的積分順序，讓內層變成對 xx 積分。

答題過程

展開

先對 zz 積分：

 ∫02∫x24∫0xsin⁡(y2)2025 dz dy dx= 2025∫02∫x24xsin⁡(y2) dy dx\begin{align*} &\, \int_{0}^{2} \int_{x^2}^{4} \int_{0}^{x \sin(y^2)} 2025 \,\mathrm{d}z \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\, 2025\int_0^2\int_{x^2}^4 x\sin(y^2)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x \end{align*}

原本的 xyxy 區域為

0≤x≤2,x2≤y≤4\begin{align*} 0\le x\le 2,\qquad x^2\le y\le 4 \end{align*}

交換順序後：

0≤y≤4,0≤x≤y\begin{align*} 0\le y\le 4,\qquad 0\le x\le \sqrt{y} \end{align*}

因此

 2025∫02∫x24xsin⁡(y2) dy dx= 2025∫04∫0yxsin⁡(y2) dx dy= 2025∫04y2sin⁡(y2) dy= 20252∫04ysin⁡(y2) dy\begin{align*} &\, 2025\int_0^2\int_{x^2}^4 x\sin(y^2)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\, 2025\int_0^4\int_0^{\sqrt{y}}x\sin(y^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\[4mm] =&\, 2025\int_0^4\frac{y}{2}\sin(y^2)\,\mathrm{d}y \\[4mm] =&\, \frac{2025}{2}\int_0^4y\sin(y^2)\,\mathrm{d}y \end{align*}

令 u=y2u=y^2，則 du=2y dy\mathrm{d}u=2y\,\mathrm{d}y：

20252∫04ysin⁡(y2) dy= 20254∫016sin⁡u du= 20254[−cos⁡u]016= 20254(1−cos⁡16)\begin{align*} \frac{2025}{2}\int_0^4y\sin(y^2)\,\mathrm{d}y =&\, \frac{2025}{4}\int_0^{16}\sin u\,\mathrm{d}u \\[4mm] =&\, \frac{2025}{4}\left[-\cos u\right]_0^{16} \\[4mm] =&\, \frac{2025}{4}(1-\cos 16) \end{align*}

所以第 (7) 格答案為 20254(1−cos⁡16)\frac{2025}{4}(1-\cos16)。

(8)

解法一：極座標

思路

展開
  1. 區域由 x≥∣y∣x\ge |y| 與 x2+y2≤2x^2+y^2\le 2 組成，是右側扇形。
  2. 改用極座標後，角度範圍是 −π4≤θ≤π4-\frac{\pi}{4}\le\theta\le\frac{\pi}{4}，半徑範圍是 0≤r≤20\le r\le\sqrt{2}。
  3. 被積分函數 (x2+y2)3/2(x^2+y^2)^{3/2} 會變成 r3r^3，再乘上 Jacobian 的 rr。

答題過程

展開

由

−1≤y≤1,∣y∣≤x≤2−y2\begin{align*} -1\le y\le 1,\qquad |y|\le x\le \sqrt{2-y^2} \end{align*}

可知極座標範圍為

−π4≤θ≤π4,0≤r≤2\begin{align*} -\frac{\pi}{4}\le \theta\le \frac{\pi}{4}, \qquad 0\le r\le \sqrt{2} \end{align*}

所以

 ∫−11∫∣y∣2−y2(x2+y2)3/2 dx dy= ∫−π4π4∫02r3⋅r dr dθ= ∫−π4π4∫02r4 dr dθ= π2[r55]02= 22π5\begin{align*} &\, \int_{-1}^{1} \int_{|y|}^{\sqrt{2-y^2}} (x^2+y^2)^{3/2} \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \\[4mm] =&\, \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\int_0^{\sqrt{2}} r^3\cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\int_0^{\sqrt{2}} r^4\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, \frac{\pi}{2}\left[\frac{r^5}{5}\right]_0^{\sqrt{2}} \\[4mm] =&\, \frac{2\sqrt{2}\pi}{5} \end{align*}

所以第 (8) 格答案為 22π5\frac{2\sqrt{2}\pi}{5}。

解法二：先用對稱性再極座標

思路

展開
  1. 區域與 integrand 都對 xx 軸對稱，所以可先取上半部再乘以 22。
  2. 上半部的角度範圍是 0≤θ≤π40\le\theta\le\frac{\pi}{4}，半徑仍是 0≤r≤20\le r\le\sqrt{2}。
  3. 這與解法一等價，但角度範圍更直觀。

答題過程

展開

利用對稱性：

 ∫−11∫∣y∣2−y2(x2+y2)3/2 dx dy= 2∫0π4∫02r4 dr dθ= 2⋅π4⋅(2)55= 22π5\begin{align*} &\, \int_{-1}^{1} \int_{|y|}^{\sqrt{2-y^2}} (x^2+y^2)^{3/2} \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \\[4mm] =&\, 2\int_0^{\frac{\pi}{4}}\int_0^{\sqrt{2}}r^4\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, 2\cdot \frac{\pi}{4}\cdot \frac{(\sqrt{2})^5}{5} \\[4mm] =&\, \frac{2\sqrt{2}\pi}{5} \end{align*}