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114 台大微積分 C 第 3 題

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114學年度 · 114微積分C · 第 3 題

題目

Problem

Let RR be the region bounded by y=ln⁡xy = \ln x, y=0y = 0, and x=e2x = e^2. The volume of the solid obtained by rotating RR about the xx-axis is (5)‾\underline{\quad(5)\quad}. The volume of the solid obtained by rotating RR about the yy-axis is (6)‾\underline{\quad(6)\quad}.

解答

(5)

解法一：圓盤法

思路

展開
  1. 區域由 y=ln⁡xy=\ln x、y=0y=0、x=e2x=e^2 圍成，所以 xx 從 11 到 e2e^2。
  2. 繞 xx 軸旋轉時，半徑就是 ln⁡x\ln x。
  3. 直接用圓盤法計算 π∫1e2(ln⁡x)2 dx\pi\int_1^{e^2}(\ln x)^2\,\mathrm{d}x。

答題過程

展開 V= π∫1e2(ln⁡x)2 dx\begin{align*} V =&\, \pi\int_1^{e^2}(\ln x)^2\,\mathrm{d}x \end{align*}

利用

∫(ln⁡x)2 dx=x[(ln⁡x)2−2ln⁡x+2]\begin{align*} \int(\ln x)^2\,\mathrm{d}x =x\left[(\ln x)^2-2\ln x+2\right] \end{align*}

可得

V= π[x((ln⁡x)2−2ln⁡x+2)]1e2= π(2e2−2)= 2π(e2−1)\begin{align*} V =&\, \pi\left[x\left((\ln x)^2-2\ln x+2\right)\right]_1^{e^2} \\[4mm] =&\, \pi\left(2e^2-2\right) \\[4mm] =&\, 2\pi(e^2-1) \end{align*}

因此第 (5) 格答案為 2π(e2−1)2\pi(e^2-1)。

解法二：剝殼法

思路

展開
  1. 若改用水平殼層，則 yy 從 00 到 22。
  2. 固定高度 yy 時，區域的 xx 範圍是 ey≤x≤e2e^y\le x\le e^2。
  3. 繞 xx 軸旋轉，殼層半徑是 yy，殼層長度是 e2−eye^2-e^y。

答題過程

展開 V= 2π∫02y(e2−ey) dy= 2π(e2∫02y dy−∫02yey dy)\begin{align*} V =&\, 2\pi\int_0^2 y(e^2-e^y)\,\mathrm{d}y \\[4mm] =&\, 2\pi\left(e^2\int_0^2 y\,\mathrm{d}y-\int_0^2 ye^y\,\mathrm{d}y\right) \end{align*}

其中

∫yey dy=ey(y−1)\begin{align*} \int ye^y\,\mathrm{d}y =e^y(y-1) \end{align*}

所以

V= 2π(2e2−[ey(y−1)]02)= 2π(2e2−(e2+1))= 2π(e2−1)\begin{align*} V =&\, 2\pi\left(2e^2-\left[e^y(y-1)\right]_0^2\right) \\[4mm] =&\, 2\pi\left(2e^2-(e^2+1)\right) \\[4mm] =&\, 2\pi(e^2-1) \end{align*}

(6)

解法一：剝殼法

思路

展開
  1. 繞 yy 軸旋轉時，用垂直殼層最直接。
  2. 殼層半徑是 xx，高度是 ln⁡x\ln x。

答題過程

展開 V= 2π∫1e2xln⁡x dx\begin{align*} V =&\, 2\pi\int_1^{e^2}x\ln x\,\mathrm{d}x \end{align*}

分部積分：

∫xln⁡x dx= x22ln⁡x−x24\begin{align*} \int x\ln x\,\mathrm{d}x =&\, \frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4} \end{align*}

因此

V= 2π[x22ln⁡x−x24]1e2= 2π(3e44+14)= π2(3e4+1)\begin{align*} V =&\, 2\pi\left[\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}\right]_1^{e^2} \\[4mm] =&\, 2\pi\left(\frac{3e^4}{4}+\frac{1}{4}\right) \\[4mm] =&\, \frac{\pi}{2}(3e^4+1) \end{align*}

所以第 (6) 格答案為 π2(3e4+1)\frac{\pi}{2}(3e^4+1)。

解法二：圓環法

思路

展開
  1. 若改用 yy 表示區域，則 0≤y≤20\le y\le 2。
  2. 固定 yy 時，左邊界是 x=eyx=e^y，右邊界是 x=e2x=e^2。
  3. 繞 yy 軸旋轉後形成圓環，外半徑是 e2e^2，內半徑是 eye^y。

答題過程

展開 V= π∫02((e2)2−(ey)2) dy= π∫02(e4−e2y) dy= π[e4y−12e2y]02= π(2e4−e42+12)= π2(3e4+1)\begin{align*} V =&\, \pi\int_0^2\left((e^2)^2-(e^y)^2\right)\,\mathrm{d}y \\[4mm] =&\, \pi\int_0^2\left(e^4-e^{2y}\right)\,\mathrm{d}y \\[4mm] =&\, \pi\left[e^4y-\frac{1}{2}e^{2y}\right]_0^2 \\[4mm] =&\, \pi\left(2e^4-\frac{e^4}{2}+\frac{1}{2}\right) \\[4mm] =&\, \frac{\pi}{2}(3e^4+1) \end{align*}