CalcGospel 微積分福音
返回

114 台大微積分 C 第 2 題

考題 / 轉學考微積分 / 台大 / 微積分C

114學年度 · 114微積分C · 第 2 題

題目

Problem

The absolute maximum value of f(x)=sin⁡x2−cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{2-\cos x} over the closed interval [0,π][0, \pi] is (3)‾\underline{\quad(3)\quad}. The absolute minimum value of f(x)f(x) over [0,π][0, \pi] is (4)‾\underline{\quad(4)\quad}.

解答

(3)、(4)

解法一：閉區間極值檢查

思路

展開
  1. 這是閉區間上的絕對極值問題，標準流程是找臨界點並比較端點。
  2. 分母 2−cos⁡x2-\cos x 在 [0,π][0,\pi] 上恆不為零，所以函數在整個閉區間連續。
  3. 找完臨界點後，把 x=0,π3,πx=0,\frac{\pi}{3},\pi 代回去比較即可。

答題過程

展開

先求導：

f′(x)= cos⁡x(2−cos⁡x)−sin⁡x(sin⁡x)(2−cos⁡x)2= 2cos⁡x−cos⁡2x−sin⁡2x(2−cos⁡x)2= 2cos⁡x−1(2−cos⁡x)2\begin{align*} f'(x) =&\, \frac{\cos x(2-\cos x)-\sin x(\sin x)}{(2-\cos x)^2} \\[4mm] =&\, \frac{2\cos x-\cos^2x-\sin^2x}{(2-\cos x)^2} \\[4mm] =&\, \frac{2\cos x-1}{(2-\cos x)^2} \end{align*}

令 f′(x)=0f'(x)=0：

2cos⁡x−1=0⇒x=π3\begin{align*} 2\cos x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{3} \end{align*}

比較端點與臨界點：

f(0)= 0f(π3)= 322−12=33f(π)= 0\begin{align*} f(0) =&\,0 \\[4mm] f\left(\frac{\pi}{3}\right) =&\, \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2-\frac{1}{2}} =\frac{\sqrt{3}}{3} \\[4mm] f(\pi) =&\,0 \end{align*}

因此絕對最大值為 33\frac{\sqrt{3}}{3}，絕對最小值為 00。

所以第 (3) 格答案為 33\frac{\sqrt{3}}{3}，第 (4) 格答案為 00。

經驗總結

解分式為零，即分子為零。

解法二：改用 cos⁡x\cos x 比較

思路

展開
  1. 在 [0,π][0,\pi] 上，sin⁡x≥0\sin x\ge 0 且 2−cos⁡x>02-\cos x>0，所以 f(x)≥0f(x)\ge 0。
  2. 因此絕對最小值很容易先看出來是端點的 00。
  3. 要找最大值，可令 u=cos⁡xu=\cos x，再最大化 f2f^2，避免處理三角函數的商數求導。

答題過程

展開

因為在 [0,π][0,\pi] 上有 sin⁡x≥0\sin x\ge 0，而 2−cos⁡x>02-\cos x>0，所以

f(x)=sin⁡x2−cos⁡x≥0\begin{align*} f(x)=\frac{\sin x}{2-\cos x}\ge 0 \end{align*}

又 f(0)=f(π)=0f(0)=f(\pi)=0，所以絕對最小值為 00。

接著找最大值。令 u=cos⁡xu=\cos x，則 u∈[−1,1]u\in[-1,1]，且

[f(x)]2= sin⁡2x(2−cos⁡x)2= 1−u2(2−u)2\begin{align*} \Big[f(x)\Big]^2 =&\, \frac{\sin^2x}{(2-\cos x)^2} \\[4mm] =&\, \frac{1-u^2}{(2-u)^2} \end{align*}

令

g(u)=1−u2(2−u)2\begin{align*} g(u)=\frac{1-u^2}{(2-u)^2} \end{align*}

求導：

g′(u)= (−2u)(2−u)2−(1−u2)⋅2(2−u)(−1)(2−u)4= 2(2−u)[(1−u2)−u(2−u)](2−u)4= 2(1−2u)(2−u)3\begin{align*} g'(u) =&\, \frac{(-2u)(2-u)^2-(1-u^2)\cdot 2(2-u)(-1)}{(2-u)^4} \\[4mm] =&\, \frac{2(2-u)\left[(1-u^2)-u(2-u)\right]}{(2-u)^4} \\[4mm] =&\, \frac{2(1-2u)}{(2-u)^3} \end{align*}

所以最大值候選點為

1−2u=0⇒u=12\begin{align*} 1-2u=0 \quad\Rightarrow\quad u=\frac{1}{2} \end{align*}

也就是 cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2}，故 x=π3x=\frac{\pi}{3}。代回：

f(π3)= 3232=33\begin{align*} f\left(\frac{\pi}{3}\right) =&\, \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}} =\frac{\sqrt{3}}{3} \end{align*}

因此絕對最大值為 33\frac{\sqrt{3}}{3}，絕對最小值為 00。

也可以不解出 x=π3x=\frac{\pi}{3}，直接把 u=12u=\frac{1}{2} 代到 g(u)g(u) 得 g(u)g(u) 的最大值：

g(12)= 1−(12)2(2−12)2= 13\begin{align*} g\left(\frac{1}{2}\right)=&\,\frac{1-(\frac{1}{2})^2}{(2-\frac{1}{2})^2}\\[4mm] =&\,\frac{1}{3} \end{align*}

由於 g(u)=[f(x)]2g(u)=\Big[f(x)\Big]^2， 這說明 f(x)f(x) 的最大值為 13=33\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} 。