前言

在學習數學的過程中，關於 $0.\overline{9}$ （也就是 $0.999\dots$ 無限循環小數）到底等不等於 $1$ 的問題，時常在學生之間引發討論。

許多同學憑藉著直覺，總會認為：

它就算無限接近，但也永遠比 $1$ 小那麼一點點。

本文將帶領讀者，從簡單的代數直觀，一路談到高等微積分的嚴格定義，來釐清這個問題。

結論先寫在前面：在實數系統中， $0.\overline{9}$ 這個數值，確實等於 $1$ 。以下我們提供四種不同層次的探討方式。

直觀與代數的解釋

1. 實數的稠密性 (Density of Real Numbers)

如果我們認為 $0.\overline{9} < 1$ ，那麼根據實數的「稠密性」，兩個相異實數之間必然存在其他實數。

最簡單的找法，就是將兩者相加除以 $2$ 找平均值：

\begin{align*} \frac{0.999\dots + 1}{2} =&\,\frac{1.999\dots}{2} \\[4mm] =&\,0.999\dots \end{align*}

我們發現，這兩數的平均值竟然等於原本較小的那個數本身。如果 $a < b$ ，它們的平均值是不可能等於 $a$ 的。唯一合理的數學解釋就是：它們其實是同一個數。

2. 分數轉換

這是多數人最容易接受的說明方式。我們都知道以下這個基礎的除法事實：

\begin{align*} \frac{1}{3} = 0.333\dots \end{align*}

既然等式成立，我們將等號兩邊同時乘以 $3$ ：左邊為： $\dfrac{1}{3} \times 3 = 1$ 右邊為： $0.333\dots \times 3 = 0.999\dots$

因此可得 $1 = 0.999\dots$ 。

3. 代數平移法

我們也可以利用十進位的特性，透過平移小數點來求解。

令 $x = 0.999\dots$ ，將等式兩邊同乘 $10$ ，接著使用直式相減：

\begin{align*} 10x =&\, 9.999\dots \\[4mm] -) \quad x =&\, 0.999\dots \\[4mm] \hline 9x =&\, 9 \end{align*}

由此可以輕易解出 $x = 1$ 。

4. 無窮等比級數

若我們將 $0.\overline{9}$ 拆解開來，它本質上是一個無窮等比級數：

\begin{align*} 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + \cdots \end{align*}

它的首項 $a_1 = 0.9$ ，公比 $r = 0.1$ 。

由於公比的絕對值 $\vert r \vert < 1$ ，說明此無窮等比級數是收斂的。我們直接代入求和公式 $S = \dfrac{a_1}{1 - r}$ ：

\begin{align*} S = \frac{0.9}{1 - 0.1} = \frac{0.9}{0.9} = 1 \end{align*}

進階探討：Apostol 的小數展開觀點

看完了上面四種說明，或許有些同學心裡還是覺得不太踏實，認為這只是在玩弄代數符號。我們不妨來看看經典的高等微積分教材《Mathematical Analysis》（Tom Apostol 著）中，是如何嚴謹看待「小數展開」這件事的。

Apostol 指出，要寫出一個實數 $x$ 的小數表示，本質上是尋找一串有限小數 $r_n$ 去逼近它。

常規的小數展開規則

為了逼近實數 $x$ ，我們尋找有限小數 $r_n$ ，使其滿足以下條件（左閉右開）：

\begin{align*} r_n \le x < r_n + 10^{-n} \end{align*}

這代表：每一個 $r_n$ 都是 $x$ 保留 $n$ 位小數的「無條件捨去」近似值。這串數字自然而然地生成了我們最熟悉的常規小數展開： $x = a_0.a_1a_2a_3\dots$

改變等號條件的結果

然而，如果我們稍微修改這個逼近的條件，將等號換個位置（變成左開右閉）：

\begin{align*} r_n < x \le r_n + 10^{-n} \end{align*}

同一個實數 $x$ ，在這套新規則下，會被迫產生另一串不同的有限小數序列。我們以 $x = \dfrac{1}{8} = 0.125$ 為例來實際操作一次。

規則一：常規的無條件捨去

條件為 $r_n \le \dfrac{1}{8} < r_n + 10^{-n}$ ：

當 $n=1$ 時： $0.1 \le \dfrac{1}{8} < 0.2 \implies r_1 = 0.1$
當 $n=2$ 時： $0.12 \le \dfrac{1}{8} < 0.13 \implies r_2 = 0.12$
當 $n=3$ 時：值得注意的是， $\dfrac{1}{8}$ 剛好符合左邊的等號，因此 $0.125 \le \dfrac{1}{8} < 0.126 \implies r_3 = 0.125$
當 $n=4$ 時： $0.1250 \le \dfrac{1}{8} < 0.1251 \implies r_4 = 0.1250$

這套規則順利產出了我們熟悉的 $0.125000\dots$ 。

規則二：修改等號位置

條件改為 $r_n < \dfrac{1}{8} \le r_n + 10^{-n}$ ：

前兩步依然會得到 $r_1 = 0.1$ 與 $r_2 = 0.12$ 。但當走到 $n=3$ 時，關鍵的差異出現了。

若我們仍取 $0.125$ ，則不等式左側會變成 $0.125 < \dfrac{1}{8}$ ，這顯然是不成立的。為了讓 $r_3$ 嚴格小於 $\dfrac{1}{8}$ ，我們只能退一步取 $r_3 = 0.124$ （因為 $0.124 < \dfrac{1}{8} \le 0.125$ ）。

接著當 $n=4$ 時，為了滿足條件，我們必須取 $r_4 = 0.1249$ （因為 $0.1249 < \dfrac{1}{8} \le 0.1250$ ）。

依此類推，這套規則自然而然地生成了 $0.124999\dots$ 。

結語

透過 Apostol 的視角，我們可以得到一個嚴謹的結論：

一個實數之所以可能擁有兩種不同的小數表示，僅僅反映了一個數學事實：兩個不同的實數集合，可以擁有同一個上確界 (Supremum)。

因此， $0.999\dots$ 與 $1.000\dots$ 雖然在小數的書寫形式上不同，但它們在實數線上所對應的，確確實實是同一個點。

無窮循環小數 0.999... 真的等於 1 嗎？從直觀到嚴格的五種探討

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