有關合成函數求極限的一個反例

合成函數求極限的定理

函數的連續性，在高等數學中是非常重要的。函數的連續與否，影響了許多定理的成立。

例如在《白話微積分》第三版的第 51 頁，有個性質 1.5.2，在求極限是很好用的：

Theorem

合成函數 $y=f\big(g(x)\big)$ ，實數 $b$ 在 $f(x)$ 定義域內，滿足 $\lim_{x\to a}g(x)=b$ ，
若外層函數 $f(x)$ 在 $x=b$ 處連續，就可以把 $\lim$ 丟到 $f$ 內部，即

\begin{align*} \lim_{x\to a}f(g(x)) =f\big(\lim_{x\to a} g(x)\big) =f(b) \end{align*}

事實上，對於大多數非數學系同學來講，微積分的學習主要是應付必修課考試，或者是轉學考、研究所入學考。但凡不影響考試答題，多數人都沒有興趣深入探討理論、研究定理成立條件。而因為題目會出現的函數，大部分都是連續函數，除非出題老師本來就刻意從反例出題來考驗考生，不然你只要簡單記得 $\lim_{x\to a}f(g(x)) =f\big(\lim_{x\to a} g(x)\big) =f(b)$ 這本身真的是夠用。

那麼，關於這個性質究竟有沒有反例呢？換句話說，能不能構造出不連續的 $f(x)$ ，使得 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(g(x))$ 與 $\displaystyle f\big(\lim_{x\to a} g(x)\big)$ 不相等呢？

構造反例

其實非常簡單，我們讓外函數 $f(x)$ 在 $x=b$ 處「跳開」即可。

設

\begin{align*} f(x)=\begin{cases} \,1&, \,x=0\\[1mm] \,0&,\, x\ne0 \end{cases}\;,\quad g(x)=x \end{align*}

則

\begin{align*} \lim_{x\to0}f\big(g(x)\big)=\lim_{x\to0}f(x)=0 \end{align*}

但

\begin{align*} f\big(\lim_{x\to0}g(x)\big) =f\big(\lim_{x\to0}x\big) =f(0)=1 \end{align*}

兩者不相等。