用積分驗證圓周率的近似值 22/7 之精確度

前言與複習

在人類歷史上，很早就對圓周率有所研究。我國大約成書在西漢時期的《周髀算經》，提出了「徑一周三」的近似值。而在西方，早在古希臘時代的阿基米德，利用圓內接和外切正多邊形的手法，得到 $ \dfrac{223}{71}<\pi<\dfrac{22}7 $。後來中國南北朝時代的數學家祖沖之，求出了約率為 $ \dfrac{22}{7} $ 、密率為$\dfrac{355}{113} $。約率就是比較粗略的估計，而密率是精確度比較高的估計。

在往後一千多年間，數學家們又陸續提出了許多更高精確度的近似值，所涉及的手法是越來越深奧。

事實上，等我們學習越來越多的數學後可以發現，在許多與圓不相干的事上出現了 $\pi$。比方說偉大的數學家歐拉求出正整數的平方倒數和

\begin{align}
\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\frac1{5^2}\cdots=\frac{\pi^2}6
\end{align}

另一例，又是歐拉，他發現了這個大家公認最美麗的公式

\begin{align}e^{i\pi}+1=0\end{align}

竟然在一條短短的式子中，同時結合了圓周率 $\pi$ 、自然指數的底 $e$ 、虛數 $$ 以及乘法的單位元素 $1$ 。彼此看似毫不相干，卻這樣巧妙地結合在一起。這個優美的式子，被稱為歐拉公式。

今天主要是要介紹個挺有意思的事情，藉由一道看起來和圓不相干的積分不等式，計算出積分的值以後，分析出 $ \dfrac{22}{7} $ 的精確度大約是多少。雖然後來還有更精確的估計，但 $ \dfrac{22}{7} $ 勝在它十分簡潔，精確度也還可以，實用上是能接受的。

複習相關知識點

以下過程中所用到的數學，不超過大一微積分程度，首先簡單複習一些知識點：

1. 在《白話微積分》4.2 積分的性質，介紹到如果函數 $ f(x) , g(x)$在一個區間 $ (a,b)$上恒成立 $g(x)<f(x) $ 這樣的大小關係，那麼

\begin{align}
\int_a^bg(x)\mathop{}\mathrm{d}x
<\int_a^bf(x)\mathop{}\mathrm{d}x
\end{align}

這點是顯然的，一條曲線恒在另一條曲線上方，那麼它的曲線下面積當然會比較大。

2. 在《白話微積分》2.8 反函數的求導，介紹了三角函數的導函數 $ \left( \tan^{-1} x\right)’=\dfrac1{1+x^2}$ ，那麼反過來說

\begin{align}
\int\frac1{1+x^2}\mathop{}\mathrm{d}x=\tan^{-1} x +C
\end{align}

3. 在《白話微積分》5.5 有理函數的積分：部分分式法，談到對於有理函數的積分，一般是化為部分分式(partial fractions) 再積分。如果這個有理函數是個假分式（分子的次數不低於分母的次數），就要先化為帶分式，也就是一個多項式加上一個真分式（分子的次數低於分母次數）的形式。多項式很容易積分，而真分式一般會進一步分解，但今天我們用不到繼續分解這一步。

複習完畢，正文開始

推導積分不等式

在區間 $(0,1)$ 上，

\begin{align}
\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}<x^4(1-x)^4
\end{align}

恒成立。這個大小關係挺顯然，因為分母 $1+x^2 $ 在 $ (0,1) $ 上是比 $ 1 $還大的，那麼整個式子 $ \dfrac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}$的取值當然會比分子 $ x^4(1-x)^4$ 還要小。於是

\begin{align}
\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\mathop{}\mathrm{d}x<\int_0^1x^4(1-x)^4\mathop{}\mathrm{d}x
\end{align}

接下來我們計算這兩個積分，計算過程稍繁，但不算困難，都是大一微積分以下的知識結合運用。

積分不等式右式的計算

先計算右式，它只不過是多項式的積分，肯定不難，只是需要先展開再逐個積分，可能過程稍長。首先我們可以借由 Pascal’s triangle 將 $ (1-x)^4 $ 展開得到 $ x^4-4x^3+6x^2-4x+1 $，接著每一項中 $x $ 的次方直接加 $4 $ 就有

\begin{align}
x^4(1-x)^4=x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4
\end{align}

所以右式能做出

\begin{align}
&\,\int_0^1x^4(1-x)^4\mathop{}\mathrm{d}x\\[3mm]= &\,\int_0^1 x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4 \mathop{}\mathrm{d}x \\[3mm]=&\,\left[\frac{x^9}{9}-\frac{4x^8}{8}+\frac{6x^7}{7}-\frac{4x^6}{6}+\frac{x^5}{5}\right]_0^1\\[3mm]=&\,\frac19-\frac12+\frac67-\frac23+\frac15\\[3mm]=&\,\frac1{630}
\end{align}

積分不等式左式的計算

至於左式，是有理函數的積分，一般不難，只須依循固定流程。首先注意到它是個假分式，我們要先將其化為帶分式，所以先將 $x^8-4x^7+6x^6-6x^5+x^4 $ 除以 $ 1+x^2$ ，得到

\begin{align}
&\,x^8-4x^7+6x^6-6x^5+x^4 \\[3mm]
=&\,(1+x^2)(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4)-4
\end{align}

將此結果代回分子

\begin{align}
&\,\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\\[3mm]
=&\,\frac{(1+x^2)(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4)-4}{1+x^2}\\[3mm]
=&\, x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}
\end{align}

這就是帶分式的形式啦！所以左式

\begin{align}
&\,\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\mathop{}\mathrm{d}x\\[3mm]
=&\,\int_0^1x^6-4x^5+5x^4-4x^2\\[3mm]
&\quad+4-\frac{4}{1+x^2}\mathop{}\mathrm{d}x\\[3mm]
=&\,\int_0^1x^6-4x^5+5x^4-4x^2\\[3mm]
&\,\quad+4 \mathop{}\mathrm{d}x-\int_0^1\frac{4}{1+x^2}\mathop{}\mathrm{d}x
\end{align}

第一個積分是多項式的積分，可簡單算出 $\dfrac17-\dfrac23+1-\dfrac43+4=\dfrac{22}7 $ ，至於第二個積分，並不需要再進一步分解，而是直接積分：

\begin{align}
&\,4\cdot\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathop{}\mathrm{d}x\\[3mm]
=&\,4\cdot\Big[\tan^{-1}x\Big]_0^1\\[3mm]
=&\,4\cdot\Big(\tan^{-1}1-\tan^{-1}0\Big)\\[3mm]
=&\,4\cdot\left(\frac{\pi}4-0\right)=\pi
\end{align}

積分不等式的結論

這樣，我們就有

\begin{align}
\frac{22}7-\pi<\frac1{630}
\end{align}

這意思就是說， $\dfrac{22}{7} $ 比 $ \pi $大一點，具體大多少並不確定，但這個誤差不會超過 $\dfrac{1}{630} $ 。

以上，我們用了有理函數 $\dfrac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}$ 小於多項式 $x^4(1-x)^4 $ ，將兩者積分後就得到了這樣的誤差估計，整個過程看起來和圓並無關聯！

補充小技巧

最後再補充一個小技巧，可以在計算 $ \displaystyle\int_0^1x^4(1-x)^4\mathop{}\mathrm{d}x$ 時迅速得多。

《白話微積分》7.2 gamma函數，介紹了

\begin{align}
\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}\mathop{}\mathrm{d} t
\end{align}

這是階乘的推廣，就是說，當 $n$ 為正整數時，

\begin{align*}
&\,\Gamma(n+1)\\[2mm]
=&\,n!\\[2mm]
=&\,n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1
\end{align*}

此外又有個 beta 函數 (beta function) ，其定義為

\begin{align*}
&\,B(a,b)\\[2mm]
=&\,\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}\mathop{}\mathrm{d}x\\[4mm]
=&\,\frac{\Gamma(a)\cdot\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}
\end{align*}

所以，現在看成 $ a=b=5$ ：

\begin{align*}
&\,B(5,5)\\[3mm]
=&\,\int_0^1x^{4}(1-x)^{4}\mathop{}\mathrm{d}x\\[3mm]
=&\,\frac{\Gamma(5)\cdot\Gamma(5)}{\Gamma(5+5)}\\[3mm]
=&\,\frac{4!\cdot4!}{9!}\\[3mm]
=&\,\frac{2\times3\times4}{5\times6\times7\times8\times9}\\[3mm]
=&\,\frac1{630}
\end{align*}

在熟悉 beta  函數的前提下，這個積分的計算會比我們剛剛暴力展開來得簡潔。

這麼方便的 beta  函數，是誰發明的呢？嘿嘿，又是歐拉！