(1) $\frac{0}{0}$ 型： $a_n\to0 , b_n\to0$ ，且 $\langle a_n\rangle$ 嚴格遞減，若$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}=L$ （ $L$ 可為有限數或正負無限大），則 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n}=L$

(2) $\frac{\star}{\infty}$ 型： $a_n\to\infty$ ，且 $\langle a_n\rangle$ 嚴格遞增，若$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}=L$ （ $L$ 可為有限數或正負無限大），則 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n}=L$

（Cauchy命題）若收斂數列 $\langle a_n\rangle$ 極限為 $L$ ， 則必有 $\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\to L$ 。

已知 $a_1>0$ ，且

試證明 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{\sqrt{2n}}=1$ 。

設 $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\sqrt{3k(3k-1)}$ ，求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2}$ 。

已知 $0<x_0<1$ ，且

試證明 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}nx_n=1$ 。

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0$

顯然 $x_n>0$ 恆成立，結合 Claim in Proof of Claim 得到
$0<x_n<\frac{1}{n+1}$，於是由夾擠定理得到
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0$

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{a^n}\;\; ( \;a>1\; )$

若收斂數列 $\langle a_n\rangle$ 極限為 $L$ ， 則必有 $\displaystyle\frac{a_1+2a_2+\cdots+na_n}{n^2}\to \frac{L}2$ 。

若收斂數列 $\langle a_n\rangle$ 極限為 $L$ ， $k$ 為非負整數，則必有

設 $a_1=1 , a_{n+1}=a_n+\frac{1}{2n}$ ，證明:

(1) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{\sqrt n}=1$

(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{a_n^2-n}{\ln n}=\frac 14$