1. 這是一道標準的「看導函數圖形反推原函數」題型，測驗你對導數正負號（影響遞增減）、導數斜率（影響凹向性）的幾何直覺。
2. (a) 小題：在 $x=2$ 處，圖形上有個轉折，但我們不能直接看圖就認定 $f'(2)=-2$。必須嚴格利用均值定理，將割線斜率的極限轉化為切線斜率的極限來夾擠出結果。
3. (b)、(c) 小題：尋找極值就是找 $f'(x)$ 穿過 $x$ 軸的地方；尋找反曲點就是找 $f'(x)$ 發生轉折（斜率由正轉負或由負轉正）的地方。
4. (e) 小題：看到 $f(x) - f(6)$，馬上聯想到微積分基本定理，將其寫成 $\int_6^x f'(t) \mathrm{d}t$。接著遇到有理函數的積分，直覺動作就是拆解：分母可分解的用部分分式，不可分解的就配方轉成 $\arctan$。

(a) 求左右極限與可導性

考慮右極限，因為 $f(x)$ 在 $[2, x]$ 上連續且在 $(2, x)$ 上可導，根據均值定理，必定存在一個 $c_1 \in (2, x)$ 使得：

最後極限是因為，當 $x \to 2^+$ 時，夾在中間的 $c_1$ 也會 $\to 2^+$ 。

同理，考慮左極限，在 $[x, 2]$ 上使用均值定理，存在 $c_2 \in (x, 2)$ 使得：

由於左右極限存在且皆等於 $-2$，故 $f'(2) = -2$。 這說明了 $f(x)$ 在 $x=2$ 處是可導的 (differentiable)。

(b) 尋找臨界數與局部極值

臨界數 (Critical numbers) 發生在 $f'(x) = 0$ 或 $f'(x)$ 不存在的地方。 觀察圖形可知：

• $f'(x) = 0$ 的位置在 $x = 3, 5$。
• $f'(x)$ 不存在的位置在 $x = 1, 4$。 所以臨界數為 $x = 1, 3, 4, 5$。

接著透過 $f'(x)$ 的正負號判斷函數的增減區間：

• $(0, 1)$：$f'(x) > 0 \implies f(x)$ 遞增
• $(1, 3)$：$f'(x) < 0 \implies f(x)$ 遞減
• $(3, 4)$：$f'(x) > 0 \implies f(x)$ 遞增
• $(4, 6)$：$f'(x) < 0$ (除 $x=5$ 外) $\implies f(x)$ 遞減

由一階導數檢定法可知：

• 局部極大值 (Local maximum) 發生在遞增轉遞減處，即 $x = 1, 4$。
• 局部極小值 (Local minimum) 發生在遞減轉遞增處，即 $x = 3$。

(c) 判斷凹向性與反曲點

判斷凹向性要看 $f''(x)$ 的正負號，也就是去觀察 $f'(x)$ 圖形的斜率（增減趨勢）：

• 凹向上 (Concave upward)：發生在 $f'(x)$ 遞增的區間，即 $(0, 1)$、$(2, 4)$、$(4, 5)$。
• 凹向下 (Concave downward)：發生在 $f'(x)$ 遞減的區間，即 $(1, 2)$、$(5, 6)$。

反曲點 (Inflection points) 發生在凹向性改變且函數連續的位置。 觀察區間交界處：

• $x=1$：凹向上轉凹向下
• $x=2$：凹向下轉凹向上
• $x=4$：凹向上轉凹向上（無改變）
• $x=5$：凹向上轉凹向下 因此，反曲點座標為 $(1, f(1))$、$(2, f(2))$、$(5, f(5))$。

(d) 繪製函數圖形

(e) 計算瑕積分

利用微積分基本定理，將所求極限轉換為定積分：

將被積分函數進行部分分式拆解與配方：

代回積分式中直接積分：

接著代入上下限並取極限。 當 $x \to \infty$ 時，$\frac{x+2}{x} \to 1$，故 $\ln(1) = 0$；而 $\arctan \to \frac{\pi}{2}$：