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114 台大微積分 B 第 3 題

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114學年度 · 114微積分B · 第 3 題

題目

Problem

Suppose that near (x,y)=(1,−1)(x,y)=(1,-1) the equation

ex2+y−ln⁡(xy2)=1e^{x^2+y}-\ln\left(\frac{x}{y^2}\right)=1

defines yy as a twice differentiable function of xx which is denoted by y(x)y(x). (a) The linearization of y(x)y(x) at x=1x=1 is (5)‾\underline{\quad(5)\quad}. (b) y′′(1)=(6)‾y''(1)=\underline{\quad(6)\quad}.

解答

解法一

思路

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  1. 看到方程式定義了隱函數 y(x)y(x)，可以利用「隱函數求導公式」 y′=−FxFyy' = -\frac{F_x}{F_y} 來快速算出斜率。
  2. 算出斜率後，套入點斜式就能寫出「線性近似」（也就是切線方程式）。
  3. 至於二階導數 y′′(1)y''(1)，雖然也有現成公式，但公式太過繁瑣且難記。我們通常會退一步，拿一階求導過程中的「恆等式」再次對 xx 求導，這樣代入已知數值會快得多，也不容易出錯。

答題過程

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(a) 求線性近似

我們先令 F(x,y)=ex2+y−ln⁡x+ln⁡(y2)−1F(x,y) = e^{x^2+y} - \ln x + \ln(y^2) - 1 。

則原式為

F(x,y)=0\begin{align*} F(x,y) =0 \end{align*}

接著分別對 xx 與 yy 計算偏導數：

Fx= ex2+y⋅2x−1xFy= ex2+y⋅1+2y\begin{align*} F_x =&\, e^{x^2+y} \cdot 2x - \frac{1}{x} \\[4mm] F_y =&\, e^{x^2+y} \cdot 1 + \frac{2}{y} \end{align*}

將已知點 (1,−1)(1, -1) 代入：

Fx(1,−1)= e1−1⋅2(1)−11=2−1=1Fy(1,−1)= e1−1+2−1=1−2=−1\begin{align*} F_x(1, -1) =&\, e^{1-1} \cdot 2(1) - \frac{1}{1} = 2 - 1 = 1 \\[4mm] F_y(1, -1) =&\, e^{1-1} + \frac{2}{-1} = 1 - 2 = -1 \end{align*}

代入隱函數求導公式，即可得到在該點的斜率：

y′(1)=−Fx(1,−1)Fy(1,−1)=−1−1=1\begin{align*} y'(1) = -\frac{F_x(1, -1)}{F_y(1, -1)} = -\frac{1}{-1} = 1 \end{align*}

有了斜率 y′(1)=1y'(1) = 1 與過點 (1,−1)(1,-1)，便可寫出 y(x)y(x) 在 x=1x=1 處的線性近似：

 y(1)+y′(1)(x−1)= −1+1(x−1)=x−2\begin{align*} &\, y(1) + y'(1)(x - 1) \\[4mm] =&\, -1 + 1(x - 1) = x - 2 \end{align*}

(b) 求二階導數

根據隱函數求導的一階結果，我們有一個關係恆等式：

Fx+Fy⋅y′=0\begin{align*} F_x + F_y \cdot y' = 0 \end{align*}

也就是：

(2xex2+y−1x)+(ex2+y+2y)y′=0\begin{align*} \left(2x e^{x^2+y} - \frac{1}{x}\right) + \left(e^{x^2+y} + \frac{2}{y}\right)y' = 0 \end{align*}

對上式再次對 xx 求導：

 [2ex2+y+2x⋅ex2+y(2x+y′)+1x2] +[ex2+y(2x+y′)−2y′y2⋅y′]y′+(ex2+y+2y)y′′=0\begin{align*} &\,\left[ 2e^{x^2+y} + 2x \cdot e^{x^2+y}(2x+y') + \frac{1}{x^2} \right] \\[4mm] &\,+ \left[ e^{x^2+y}(2x+y') - \frac{2y'}{y^2} \cdot y' \right]y' + \left(e^{x^2+y} + \frac{2}{y}\right)y'' = 0 \end{align*}

式子看起來有些龐大，但此時不需整理，直接將 (x,y,y′)=(1,−1,1)(x, y, y') = (1, -1, 1) 全部代入：

 [2(1)+2(1)(1)(2+1)+1]+[1(2+1)−2(1)]⋅1+(1−2)y′′=0⇒ [2+6+1]+[3−2]−y′′=0⇒ 9+1−y′′=0⇒ y′′(1)=10\begin{align*} &\,\left[ 2(1) + 2(1)(1)(2+1) + 1 \right] + \left[ 1(2+1) - 2(1) \right] \cdot 1 + (1 - 2)y'' = 0 \\[4mm] \Rightarrow&\, \left[ 2 + 6 + 1 \right] + \left[ 3 - 2 \right] - y'' = 0 \\[4mm] \Rightarrow&\, 9 + 1 - y'' = 0 \\[4mm] \Rightarrow&\, y''(1) = 10 \end{align*}

解法二

思路

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  1. 這一招是「先說人話，再寫式子」。既然對數裡面有除法和次方，別急著求導，我們先把對數律用到徹底。
  2. 將 ln⁡(xy2)\ln\left(\frac{x}{y^2}\right) 拆成 ln⁡x−2ln⁡∣y∣\ln x - 2\ln|y|。這樣原本複雜的分式與次方連鎖律，瞬間變成簡單的單項求導，出錯率大降。
  3. 接著直接對方程式兩側對 xx 求導，求出 y′y'。
  4. 二階導數也是如法炮製，保持方程式的平衡狀態再次對 xx 求導，不必辛苦移項，最後直接把數字填進去「收網」即可。

答題過程

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(a) 求線性近似

我們首先利用對數律，將原方程式進行徹底拆解：

ex2+y−ln⁡x+2ln⁡∣y∣=1\begin{align*} e^{x^2+y} - \ln x + 2\ln|y| = 1 \end{align*}

接著兩側直接對 xx 求導：

ex2+y(2x+y′)−1x+2yy′=0\begin{align*} e^{x^2+y}(2x + y') - \frac{1}{x} + \frac{2}{y}y' = 0 \tag{*} \end{align*}

將點 (1,−1)(1, -1) 代入 (∗)(*) 式以解出 y′(1)y'(1)：

 e0(2+y′)−1+2−1y′(1)=0⇒   2+y′(1)−1−2y′(1)=0⇒   1−y′(1)=0⇒   y′(1)=1\begin{align*} &\, e^0(2 + y') - 1 + \frac{2}{-1}y'(1) = 0 \\[4mm] \Rightarrow\;&\, 2 + y'(1) - 1 - 2y'(1) = 0 \\[4mm] \Rightarrow\;&\, 1 - y'(1) = 0 \\[4mm] \Rightarrow\;&\, y'(1) = 1 \end{align*}

因此，線性近似為：

 y(1)+y′(1)(x−1)= −1+1(x−1)=x−2\begin{align*} &\, y(1) + y'(1)(x - 1) \\[4mm] =&\, -1 + 1(x - 1) = x - 2 \end{align*}

(b) 求二階導數

為了求二階導數，我們將剛剛的 (∗)(*) 式再次對 xx 求導：

 ddx[ex2+y(2x+y′)]−ddx(1x)+ddx(2y′y)=0⇒ [ex2+y(2x+y′)(2x+y′)+ex2+y(2+y′′)]+1x2+[2y′′⋅y−2y′⋅y′y2]=0\begin{align*} &\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ e^{x^2+y}(2x + y') \right] - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \frac{1}{x} \right) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \frac{2y'}{y} \right) = 0 \\[4mm] \Rightarrow&\, \left[ e^{x^2+y}(2x+y')(2x+y') + e^{x^2+y}(2+y'') \right] + \frac{1}{x^2} + \left[ \frac{2y'' \cdot y - 2y' \cdot y'}{y^2} \right] = 0 \end{align*}

現在，將所有已知數值 (x,y,y′)=(1,−1,1)(x, y, y') = (1, -1, 1) 一口氣代入上式：

 [1⋅(3)2+1⋅(2+y′′)]+1+[2y′′(−1)−2(1)2(−1)2]=0⇒ 9+2+y′′+1−2y′′−2=0⇒ 10−y′′=0⇒ y′′(1)=10\begin{align*} &\,\left[ 1 \cdot (3)^2 + 1 \cdot (2+y'') \right] + 1 + \left[ \frac{2y''(-1) - 2(1)^2}{(-1)^2} \right] = 0 \\[4mm] \Rightarrow&\, 9 + 2 + y'' + 1 - 2y'' - 2 = 0 \\[4mm] \Rightarrow&\, 10 - y'' = 0 \\[4mm] \Rightarrow&\, y''(1) = 10 \end{align*}
經驗總結

看到 ln⁡\ln 內部有複雜的乘除次方時，徹底拆解絕對是第一優先。比起帶著 ln⁡(xy2)\ln\left(\frac{x}{y^2}\right) 硬作連鎖律，先寫成 ln⁡x−2ln⁡∣y∣\ln x - 2\ln|y| 之後再求導，版面會乾淨很多。 另外，求二階導數時，直接在原方程式上「連環求導」會比先移項寫成 y′=…y' = \dots 後再求導簡單得多，因為你可以避開繁複的分式求導法則。