1. 本題是經典的泰勒級數題組，核心觀念是「利用已知的泰勒級數，透過代換、積分等操作，建構出新函數的級數」。
2. 第一小題只需針對我們熟知的 $e^x$ 麥克勞林級數，直接將 $x$ 代換成 $-x^2$ 即可。
3. 第二小題要求 $f(x)$ 的級數，由於 $f(x)$ 帶有積分符號，我們可以先利用微積分基本定理對 $f(x)$ 求導得到 $f'(x)$，找出它與第一小題結果的關聯，最後再逐項積分把 $f(x)$ 給找回來。
4. 第三小題出現了複雜的極限。看到分母有 $(x-2)^4$ 這種高次方，用羅必達法則求導絕對會生不如死。此時應將函數全部展開成泰勒級數，透過比較最低次項的係數來求出極限。為了避免符號混淆，作變數代換 $t = x-2$ 把它平移到原點，能大幅簡化計算的視覺負擔。

(a) 求 $e^{-x^2}$ 的泰勒級數

我們熟知指數函數 $e^x$ 在 $x=0$ 的泰勒級數（麥克勞林級數）為：

將 $x$ 替換為 $-x^2$，即可得到 $e^{-x^2}$ 的級數：

(b) 求 $f(x)$ 在 $a=2$ 的泰勒級數

首先，我們利用微積分基本定理對 $f(x)$ 求導。根據連鎖律，上限 $x-1$ 對 $x$ 求導為 $1$：

利用 (a) 小題的結果，將 $x$ 代換成 $(x-2)$，可以得到 $f'(x)$ 在 $a=2$ 的泰勒級數：

接著，為了找回 $f(x)$，我們對 $f'(x)$ 從 $2$ 到 $x$ 進行積分。

就是說，因為

所以

注意當 $x=2$ 時，由原定義可知 $f(2) = \int_1^1 e^{-(t-1)^2} \mathrm{d}t = 0$。因此：

這就是 $f(x)$ 以 $a=2$ 為中心的泰勒級數。

(c) 求極限值

要計算這個極限，我們先作變數代換 $t = x-2$，那麼當 $x \to 2$ 時，$t \to 0$。 同時，$x = t+2$，分母對數內部的 $2x-3$ 可以改寫為 $2(t+2)-3 = 2t+1$。

原極限式可以改寫為：

接下來我們將分子與分母各自展開成泰勒級數，只需要列出前幾項即可。 根據 (b) 小題的結論，展開 $f(t+2)$：

而 $\arctan(t)$ 在原點的泰勒級數為我們熟知的：

將這兩者相減，觀察分子：

接著處理分母，用到 $\ln(1+u)$ 的展開式 $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \cdots$：

因此，整個分母為：

最後，將分子與分母的級數代回極限式中比較最低次項：

求帶有積分上限函數的泰勒級數時，除了「先求導再積分」之外，還有一個更直接的方法：直接將被積分函數展開成級數，然後逐項積分。

我們已知 (a) 小題中 $e^{-u^2}$ 的展開式，只要令 $u = t-1$，就能得到被積分函數 $e^{-(t-1)^2}$ 的級數。接著將這個級數放回原積分中，從 $t=1$ 積分到 $t=x-1$。你會發現，積分上限 $(x-1)$ 代入積分結果的 $(t-1)$ 後，剛好會變成 $((x-1)-1) = (x-2)$，這完美契合了題目要求「centered at $a=2$」的目標形式！

(b) 求 $f(x)$ 在 $a=2$ 的泰勒級數

根據 (a) 小題的結果，我們知道 $e^{-u^2}$ 在 $u=0$ 的泰勒級數為：

我們將 $u$ 代換為 $t-1$，即可得到被積分函數 $e^{-(t-1)^2}$ 的展開式：

接著，將這個級數代回 $f(x)$ 的積分定義中。由於冪級數在其收斂區間內（此處收斂半徑為無窮大）可以逐項積分，我們將積分符號與求和符號交換：

現在，我們只需專注於計算後面的定積分。對 $(t-1)^{2k}$ 積分會得到 $\frac{(t-1)^{2k+1}}{2k+1}$，代入上下限：

最後，將計算出來的積分結果代回級數中，即可得到 $f(x)$ 的泰勒級數：

這個結果自然地呈現了 $(x-2)$ 的冪次，正是以 $a=2$ 為中心的泰勒級數。