CalcGospel 微積分福音
返回

114 台大微積分 B 第 1 題

考題 / 轉學考微積分 / 台大 / 微積分B

114學年度 · 114微積分B · 第 1 題

題目

Problem

求極限

lim⁡x→0+(1−sin⁡xx)1ln⁡x=(1)‾.\lim_{x \to 0^+} \left(1 - \frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{\ln x}} = \underline{\quad(1)\quad}.

解答

解法一

思路

展開
  1. 觀察極限的形式，底數趨近於 00，指數也趨近於 00，這是一個 000^0 的不定型。
  2. 處理指數型的不定型，標準起手式是利用對數與指數的性質 A=eln⁡AA = e^{\ln A} 將次方拉下來變成乘法。
  3. 轉換為分數形式後，預期會使用羅必達法則。
  4. 羅必達求導一次之後，式子可能會變得冗長，此時應敏銳地觀察到 x→0x \to 0，可以直接果斷切換成泰勒展開式（麥克勞林級數）來比較最低次方，省去無限羅必達的痛苦。

答題過程

展開

觀察題目的極限，當 x→0+x \to 0^+ 時，我們熟知的重要極限 sin⁡xx→1\frac{\sin x}{x} \to 1，所以底數 1−sin⁡xx→01 - \frac{\sin x}{x} \to 0。 而指數部分 1ln⁡x→1−∞=0\frac{1}{\ln x} \to \frac{1}{-\infty} = 0。

所以這是一個 000^0 的不定型。遇到次方的形式，既不是乘也不是除，我們通常會利用對數的一大好處：化次方為乘法。也就是使用 A=eln⁡AA = e^{\ln A} 這招：

 lim⁡x→0+(1−sin⁡xx)1ln⁡x= lim⁡x→0+exp⁡[1ln⁡xln⁡(1−sin⁡xx)]= exp⁡[lim⁡x→0+ln⁡(x−sin⁡xx)ln⁡x]= exp⁡[lim⁡x→0+ln⁡(x−sin⁡x)−ln⁡xln⁡x]\begin{align*} &\,\lim_{x \to 0^+} \left(1 - \frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{\ln x}}\\[4mm] =&\, \lim_{x \to 0^+} \exp\left[ \frac{1}{\ln x} \ln\left(1 - \frac{\sin x}{x}\right) \right] \\[4mm] =&\, \exp\left[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln\left(\frac{x - \sin x}{x}\right)}{\ln x} \right] \\[4mm] =&\, \exp\left[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x - \sin x) - \ln x}{\ln x} \right] \end{align*}

現在觀察括號內部指數部分的極限，它變成了 −∞−∞\frac{-\infty}{-\infty} 的形式，可以名正言順地使用羅必達法則：

 lim⁡x→0+ln⁡(x−sin⁡x)−ln⁡xln⁡x=L lim⁡x→0+1−cos⁡xx−sin⁡x−1x1x= lim⁡x→0+x(1−cos⁡xx−sin⁡x−1x)= lim⁡x→0+x(1−cos⁡x)−(x−sin⁡x)x−sin⁡x= lim⁡x→0+sin⁡x−xcos⁡xx−sin⁡x\begin{align*} &\,\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x - \sin x) - \ln x}{\ln x}\\[4mm] \overset{L}{=}&\, \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1 - \cos x}{x - \sin x} - \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} \\[4mm] =&\, \lim_{x \to 0^+} x \left( \frac{1 - \cos x}{x - \sin x} - \frac{1}{x} \right) \\[4mm] =&\, \lim_{x \to 0^+} \frac{x(1 - \cos x) - (x - \sin x)}{x - \sin x} \\[4mm] =&\, \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x - x\cos x}{x - \sin x} \end{align*}

做到這裡，當 x→0+x \to 0^+ 時，這又是一個 00\frac{0}{0} 的不定型。如果你打算繼續硬用羅必達法則，分子分母的求導會開始變得有些繁雜，等做完一題可能考試都快結束了。

這時不如換個俐落的兵器：泰勒展開式（麥克勞林級數）。

我們熟知 sin⁡x\sin x 和 cos⁡x\cos x 在 x=0x=0 附近的展開：

sin⁡x= x−x33!+x55!−⋯cos⁡x= 1−x22!+x44!−⋯\begin{align*} \sin x =&\, x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \\[4mm] \cos x =&\, 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \end{align*}

將其代入分子與分母：

分母：

 x−sin⁡x= x−(x−x36+⋯ )= x36−⋯\begin{align*} &\,x - \sin x \\[4mm] =&\, x - \left(x - \frac{x^3}{6} + \cdots\right) \\[4mm] =&\, \frac{x^3}{6} - \cdots \end{align*}

分子：

 sin⁡x−xcos⁡x= (x−x36+⋯ )−x(1−x22+⋯ )= (x−x36)−(x−x32)+⋯= x32−x36+⋯=x33+⋯\begin{align*} &\,\sin x - x\cos x \\[4mm] =&\, \left(x - \frac{x^3}{6} + \cdots\right) - x\left(1 - \frac{x^2}{2} + \cdots\right) \\[4mm] =&\, \left(x - \frac{x^3}{6}\right) - \left(x - \frac{x^3}{2}\right) + \cdots \\[4mm] =&\, \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} + \cdots = \frac{x^3}{3} + \cdots \end{align*}

於是極限式就變得非常清晰：

 lim⁡x→0+sin⁡x−xcos⁡xx−sin⁡x= lim⁡x→0+x33+更高次項x36+更高次項= lim⁡x→0+13+含 x 的項16+含 x 的項= 1316=2\begin{align*} &\,\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x - x\cos x}{x - \sin x}\\[4mm] =&\, \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x^3}{3} + \text{更高次項}}{\frac{x^3}{6} + \text{更高次項}} \\[4mm] =&\, \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{3} + \text{含 } x \text{ 的項}}{\frac{1}{6} + \text{含 } x \text{ 的項}} \\[4mm] =&\, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}} = 2 \end{align*}

因此，原極限值為：

exp⁡(2)=e2\exp(2) = e^2
易錯提醒

別忘了我們這一切的計算都還在 ee 的指數上喔！這也是許多初學者計算極限時常犯的失誤，在旁邊算了一大堆，算得很開心卻忘了最後要把答案放回指數上。

解法二

思路

展開

處理 000^0 不定型的第一步，一樣是利用指數與對數轉換為 exp⁡[lim⁡x→0+ln⁡(1−sin⁡xx)ln⁡x]\exp\left[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1 - \frac{\sin x}{x})}{\ln x} \right]。 但在處理指數部分的極限時，我們可以借鑒處理「重要極限延伸題」的精神：湊項對齊與平衡。

既然括號內部通分後會出現 x−sin⁡xx - \sin x，我們腦海中應該要浮現微積分裡另一個常客（經典延伸極限）： lim⁡x→0x−sin⁡xx3=16\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6}。

只要我們能在對數內部湊出這個形式，接著利用對數的性質 ln⁡(A⋅B)=ln⁡A+ln⁡B\ln(A \cdot B) = \ln A + \ln B，我們就能把這個帶有三角函數的極限化為常數並獨立出來，完美避開繁雜的羅必達求導！

答題過程

展開

我們先直接針對極限式作指數與對數的轉換，然後在對數內部進行湊項：

 lim⁡x→0+(1−sin⁡xx)1ln⁡x= lim⁡x→0+exp⁡[ln⁡(x−sin⁡xx)ln⁡x]= exp⁡[lim⁡x→0+ln⁡(x−sin⁡xx3⋅x2)ln⁡x]分母湊  x3 對齊，並補  x2 平衡= exp⁡[lim⁡x→0+ln⁡(x−sin⁡xx3)+ln⁡(x2)ln⁡x]對數化乘為加= exp⁡[lim⁡x→0+ln⁡(x−sin⁡xx3)ln⁡x+lim⁡x→0+2ln⁡xln⁡x]= exp⁡[0+2]= exp⁡(0+2)=e2\begin{align*} &\,\lim_{x \to 0^+} \left(1 - \frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{\ln x}} \\[4mm] =&\,\lim_{x \to 0^+} \exp\left[ \frac{\ln\left(\frac{x - \sin x}{x}\right)}{\ln x} \right] \\[4mm] =&\,\exp\left[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln\left(\colorbox{Goldenrod}{$\frac{x - \sin x}{x^3}$} \cdot \colorbox{aqua}{$x^2$}\right)}{\ln x} \right] &&\colorbox{Lavender}{\text{分母湊 } \(x^3\) \text{對齊，並補 } \(x^2\) \text{平衡}} \\[4mm] =&\,\exp\left[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln\left(\colorbox{Goldenrod}{$\frac{x - \sin x}{x^3}$}\right) + \ln(\colorbox{aqua}{$x^2$})}{\ln x} \right] &&\colorbox{Lavender}{\text{對數化乘為加}} \\[4mm] =&\,\exp\left[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln\left(\frac{x - \sin x}{x^3}\right)}{\ln x} + \lim_{x \to 0^+}\frac{2\ln x}{\ln x} \right] \\[4mm] =&\,\exp\left[ 0 + 2 \right] \\[4mm] =&\,\exp(0 + 2) = e^2 \end{align*}

為了幫助你看懂，在此複雜的過程中進行了標註。 黃色底色\colorbox{Goldenrod}{黃色底色} 標註了對齊，根據已知極限 lim⁡x→0x−sin⁡xx3=16\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{6} 來進行對數內部的湊項。 藍色底色\colorbox{aqua}{藍色底色} 標註的是對齊完之後的平衡，乘回 x2x^2 使式子等價。

利用對數性質拆開後，左邊項的分子趨近固定的常數 ln⁡(16)\ln(\frac{1}{6})，而分母趨近 −∞-\infty，故該項極限為 00；右邊項直接約掉 ln⁡x\ln x 剩下 22。

經驗總結

遇到對數內部有複雜的多項式或三角函數時，與其直接硬作羅必達（容易越微越肥），不如先用極限的已知結果去「湊項對齊」，再用 ln⁡(A⋅B)=ln⁡A+ln⁡B\ln(A \cdot B)=\ln A + \ln B 拆開，常能收到奇效！