前言：寫在題目旁邊的那些符號

許多人在解極限問題的時候，習慣在題目旁邊寫下 $\frac{0}{0}$ 或者 $\frac{\infty}{\infty}$。

這個習慣非常好，它是我們分析極限的第一步。但是，恐怕有少數初學者對這麼寫的意思有點誤解，導致偶爾會出現一些觀念上的濫用或混淆。因此，本篇文章將帶大家深入探討什麼是「不定式」極限，以及在一旁標註這些符號的真正意涵。

什麼是不定式 (Indeterminate Form)？

某些極限問題特簡單，例如：

只須觀察到分母趨向無限大、分子趨近到有限的數 $7$，便可知道極限為 $0$。

但有一類問題，例如 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+3}{n^3-5n}$ 或 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$，我們並不能光是觀察分母與分子同時趨向無限大（即 $\frac{\infty}{\infty}$），或同時趨向零（即 $\frac{0}{0}$），來直接得知結果。

比方說同樣是 $\frac{0}{0}$，就有以下各種截然不同的結果：

這一類的就叫不定式 (Indeterminate Form)，意思是光看形式是無法直接確認結果的。考試中通常也都會拿不定式來考你，否則就太過簡單了。

判斷趨勢：破解極限的第一步

就因為是不定式，無法一眼看出答案，我們才會需要透過一些過程、使用一些技巧（如通分、有理化、湊重要極限、羅必達法則等）來得出答案。

所以，遇到極限的第一步，我們應先將極限式的每個區塊進行判斷，看看每個區塊分別「趨向」何處。

例 1：$\frac{0}{0}$ 型

我們分別看分子與分母，發現它們各自趨向 $0$，那我們就可以在旁邊寫下 $\frac{0}{0}$ 這樣的符號。 這個符號是一種示意，表示上面這塊（分子）趨向 $0$、下面這塊趨向 $0$。換句話講，我們寫下的 $0$ 並非真 $0$，我們是把「趨勢」標註起來！ 標註完之後我們就明白了：上下皆往 $0$ 跑，這是一場賽跑，暫時還無法確定答案，須進一步用一些手段來確認誰跑到 $0$ 比較快。

例 2：$\frac{\infty}{\infty}$ 型

我們分別看分子與分母，各自趨向無限大，那就在一旁寫下 $\frac{\infty}{\infty}$。 須注意 $\infty$ 本來就不是一個確切的數，所以也不是真的在說分子或分母等於無限大，這裡寫的純粹是趨勢。如果要確定最後答案，我們須搞清楚誰跑向無限大的趨勢遠遠快過另一方。

例 3：$\frac{C}{\infty}$（這不是不定式！）

分子趨向 $7$、分母趨向無限大，若要標註可以寫下 $\frac{C}{\infty}$ 這樣的符號，意思是「分子趨向非零常數、分母趨向無限大」。 這樣一來，無須進一步的解題過程，我們現在就知道答案是 $0$ 了！當然，平常不會真的有人寫下 $\frac{C}{\infty}$，因為當你都已經看出來而想要寫下它時，你心中早就有答案了，那還寫個啥呢？

例 4：$1^\infty$ 型

我們分別看底數與次方，底數趨向 $1$、次方趨向無限大，那我們就寫下 $1^\infty$ 這樣的符號。底數並不是真的等於 $1$，我們只是把它往 $1$ 跑的趨勢寫下來；次方也同樣是把越來越大的趨勢寫下來。這也是一種不定式。

例 5：$0^\infty$（這不是不定式！）

底數趨向 $0$、次方趨向無限大，我們寫下 $0^\infty$ 這樣的符號。 這並非不定式！底都已經努力往 $0$ 跑了，次方還那麼大，這是在助長它跑到 $0$ 跑得更快！因此答案沒有懸念，直接確定是 $0$。

補充：更多形式的判斷

順著這個「趨勢賽跑」的邏輯，我們再多看幾個例子：

• $0^0$ 型：例如 $\displaystyle\lim_{x\to0^+} x^x$。底數想讓整體變成 $0$，但次方想讓整體變成 $1$，雙方衝突，這是不定式。
• $\infty^\infty$ 型：例如 $\displaystyle\lim_{x\to\infty} x^x$。底數越來越大，次方也越來越大，雙方都在幫忙把數字推向無限大，沒有衝突，這不是不定式（結果直接是 $\infty$）。
• $\infty^0$ 型：例如 $\displaystyle\lim_{x\to\infty} x^{\frac{1}{x}}$。底數想讓整體變無限大，次方想讓整體變成 $1$，雙方衝突，這是不定式。

常見的觀念誤區

理解了「極限標註的符號代表的是趨勢」後，我們來看看兩個初學者最常犯的觀念誤區。

誤區 1：常數函數求導是不定式嗎？

如果我們利用導數定義推導常數函數 $f(x)=c$ 的導數，會出現：

有些同學會問：「咦？$\frac{0}{0}$ 不是不定式嗎，為什麼這裡可以直接說答案是 $0$？」

會問出這個問題，就是沒有徹底搞清楚不定式的本質。

不定式 $\frac{0}{0}$ 指的是分子分母「皆趨向 $0$ 的趨勢」，除非我們搞清楚誰跑到 $0$ 更快，否則無法確定答案。 而在這裡，分母確實是趨向 $0$，但分子 $c-c$ 根本是千真萬確的真 $0$！ 在取極限的過程中，分子永遠是 $0$。真 $0$ 除以任何非零的數都是 $0$，所以極限值自然是 $0$。這根本就不是不定式！

誤區 2：「$0^0$ 是不定式，所以不存在」？

在網路上經常能看到大家爭論 $0^0$ 應該等於多少，這時總會有人跳出來說：「$0^0$ 不是不定式嗎？所以它無意義／不存在」。 這句話其實同時暴露了幾個層次的誤解。

首先，當我們討論「$0^0$ 應該等於多少」時，我們是在討論數的運算。意思是有一個數，它的底數就是真 $0$、它的次方也是真 $0$，這樣的話它是否有定義？有的話應該等於多少？

但「不定式 $0^0$」則是在講極限式！取極限的式子裡，底數與次方都只是「趨向 $0$」，兩者都不是真 $0$。打從一開始，討論的對象就完全不一樣，一個是在討論實數值，一個是在討論極限趨勢。

此外，稱之為「不定式」，意思是「無法單從這個形式看出極限值」，而不是「極限不存在」。在同一個 $0^0$ 的趨勢形式下，根據函數的不同，完全可能出現不同的極限結果。例如：

所以，「數值上的沒有定義」與「極限上的不定式」是完全不一樣的概念！

注：$x\to0^+$ $\;\implies \frac1x\to\infty$ $\;\implies e^{\frac1x}\to\infty$ $\;\implies e^{-\frac1x}=\frac{1}{e^{\frac1x}}\to 0$