題目

求 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\big(1+e^x\big)}{\sqrt{1+x^2}}$ 。

解答

解

注意到分子對數內的 $1$ 似乎可以扔掉，這是因為相較於旁邊的 $e^x$ 趨向無限大，它顯得可以忽略。若要寫比較嚴謹的過程，可以採用夾擠定理，第一步先放縮：

\begin{align*} &\,\frac{\ln\big(0+e^x\big)}{\sqrt{1+x^2}}\\[4mm] \le&\, \frac{\ln\big(1+e^x\big)}{\sqrt{1+x^2}}\\[4mm] \le&\, \frac{\ln\big(e^x+e^x\big)}{\sqrt{1+x^2}} \end{align*}

也就是

\begin{align*} &\,\frac{\ln\big(e^x\big)}{\sqrt{1+x^2}}\\[4mm] \le&\, \frac{\ln\big(1+e^x\big)}{\sqrt{1+x^2}}\\[4mm] \le&\, \frac{\ln\big(2e^x\big)}{\sqrt{1+x^2}} \end{align*}

再使用對數性質化簡

\begin{align*} &\,\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\\[4mm] \le&\, \frac{\ln\big(1+e^x\big)}{\sqrt{1+x^2}}\\[2mm] \le&\, \frac{\ln 2+x}{\sqrt{1+x^2}} \end{align*}

上下界有了，分別對上下界取極限：

\begin{align*} (1)\;\quad&\,\lim_{x\to+\infty} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}=1\\[8mm] (2)\;\quad&\,\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln 2+x}{\sqrt{1+x^2}}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to+\infty} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\times \frac{\ln2+x}{x}\\[4mm] =&\,1\times1=1 \end{align*}

解

\begin{align*} &\,\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln\big(1+e^x\big)}{\sqrt{1+x^2}}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln\Big[\big(e^{-x}+1\big)e^x\Big]}{\sqrt{1+x^2}}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln\big(e^{-x}+1\big)+x}{\sqrt{1+x^2}}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to+\infty} \frac{\frac{\ln\big(e^{-x}+1\big)}{x}+1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}\\[4mm] =&\,\frac{0+1}{1}=1 \end{align*}