求極限 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\big(1+e^x\big)}{\sqrt{1+x^2}}\)

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題目

求 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\big(1+e^x\big)}{\sqrt{1+x^2}}$。

解 1

注意到分子對數內的 \(1\) 似乎可以扔掉，這是因為相較於旁邊的 \(e^x\) 趨向無限大，它顯得可以忽略。若要寫比較嚴謹的過程，可以採用夾擠定理，第一步先放縮：

\begin{align}
&\,\frac{\ln\big(0+e^x\big)}{\sqrt{1+x^2}}\\[2mm]
\le&\,
\frac{\ln\big(1+e^x\big)}{\sqrt{1+x^2}}\\[2mm]
\le&\,
\frac{\ln\big(e^x+e^x\big)}{\sqrt{1+x^2}}
\end{align}

也就是

\begin{align}
&\,\frac{\ln\big(e^x\big)}{\sqrt{1+x^2}}\\[2mm]
\le&\,
\frac{\ln\big(1+e^x\big)}{\sqrt{1+x^2}}\\[2mm]
\le&\,
\frac{\ln\big(2e^x\big)}{\sqrt{1+x^2}}
\end{align}

再使用對數性質化簡

\begin{align}
&\,\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\\[2mm]
\le&\,
\frac{\ln\big(1+e^x\big)}{\sqrt{1+x^2}}\\[2mm]
\le&\,
\frac{\ln 2+x}{\sqrt{1+x^2}}
\end{align}

上下界有了，分別對上下界取極限：

\begin{align}
(1)\;&\,\lim_{x\to+\infty}
\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\\[3mm]
=&\,\lim_{x\to+\infty}
\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}=1\\[3mm]
(2)\;&\,\lim_{x\to+\infty}
\frac{\ln 2+x}{\sqrt{1+x^2}}\\[3mm]
=&\,\lim_{x\to+\infty}
\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\times
\frac{\ln2+x}{x}\\[3mm]
=&\,1\times1=1
\end{align}

解 2

\begin{align}
&\,\lim_{x\to+\infty}
\frac{\ln\big(1+e^x\big)}{\sqrt{1+x^2}}\\[3mm]
=&\,\lim_{x\to+\infty}
\frac{\ln\Big[\big(e^{-x}+1\big)e^x\Big]}{\sqrt{1+x^2}}\\[3mm]
=&\,\lim_{x\to+\infty}
\frac{\ln\big(e^{-x}+1\big)+x}{\sqrt{1+x^2}}\\[3mm]
=&\,\lim_{x\to+\infty}
\frac{\frac{\ln\big(e^{-x}+1\big)}{x}+1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}\\[3mm]
=&\,\frac{0+1}{1}=1
\end{align}