用積分驗證圓周率的近似值 22/7 之精確度

前言與複習

在人類歷史上，很早就對圓周率有所研究。我國大約成書在西漢時期的《周髀算經》，提出了「徑一周三」的近似值。而在西方，早在古希臘時代的阿基米德，利用圓內接和外切正多邊形的手法，得到 $\dfrac{223}{71}<\pi<\dfrac{22}7$ 。後來中國南北朝時代的數學家祖沖之，求出了約率為 $\dfrac{22}{7}$ 、密率為 $\dfrac{355}{113}$ 。約率就是比較粗略的估計，而密率是精確度比較高的估計。

在往後一千多年間，數學家們又陸續提出了許多更高精確度的近似值，所涉及的手法是越來越深奧。

歷史上一個國家所算得的圓周率準確程度。可以作為衡量這個國家當時數學發展水準的指標。

德國數學史家莫瑞茲康托 (Moritz Cantor,1829-1920)

事實上，等我們學習越來越多的數學後可以發現，在許多與圓不相干的事上出現了 $\pi$ 。比方說偉大的數學家歐拉求出正整數的平方倒數和

\begin{align} \frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\frac1{5^2}\cdots=\frac{\pi^2}6 \end{align}

另一例，又是歐拉，他發現了這個大家公認最美麗的公式

\begin{align} e^{i\pi}+1=0 \end{align}

竟然在一條短短的式子中，同時結合了圓周率 $\pi$ 、自然指數的底 $e$ 、虛數以及乘法的單位元素 $1$ 。彼此看似毫不相干，卻這樣巧妙地結合在一起。這個優美的式子，被稱為歐拉公式。

今天主要是要介紹個挺有意思的事情，藉由一道看起來和圓不相干的積分不等式，計算出積分的值以後，分析出 $\dfrac{22}{7}$ 的精確度大約是多少。雖然後來還有更精確的估計，但 $\dfrac{22}{7}$ 勝在它十分簡潔，精確度也還可以，實用上是能接受的。

複習相關知識點

以下過程中所用到的數學，不超過大一微積分程度，首先簡單複習一些知識點：

在《白話微積分》4.2 積分的性質，介紹到如果函數 $f(x),g(x)$ 在一個區間 $(a,b)$ 上恒成立 $g(x)<f(x)$ 這樣的大小關係，那麼

\begin{align} \int_a^bg(x)\mathop{}\mathrm{d}x <\int_a^bf(x)\mathop{}\mathrm{d}x \end{align}

這點是顯然的，一條曲線恒在另一條曲線上方，那麼它的曲線下面積當然會比較大。

積分的性質示意圖

在《白話微積分》2.8 反函數的求導，介紹了三角函數的導函數 $\left( \tan^{-1} x\right)'=\dfrac1{1+x^2}$ ，那麼反過來說

\begin{align} \int\frac1{1+x^2}\mathop{}\mathrm{d}x=\tan^{-1} x +C \end{align}

在《白話微積分》5.5 有理函數的積分：部分分式法，談到對於有理函數的積分，一般是化為部分分式 (partial fractions) 再積分。如果這個有理函數是個假分式（分子的次數不低於分母的次數），就要先化為帶分式，也就是一個多項式加上一個真分式（分子的次數低於分母次數）的形式。多項式很容易積分，而真分式一般會進一步分解，但今天我們用不到繼續分解這一步。

複習完畢，正文開始

推導積分不等式

在區間 $(0,1)$ 上，

\begin{align} \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}<x^4(1-x)^4 \end{align}

恒成立。這個大小關係挺顯然，因為分母 $1+x^2$ 在 $(0,1)$ 上是比 $1$ 還大的，那麼整個式子 $\dfrac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}$ 的取值當然會比分子 $x^4(1-x)^4$ 還要小。於是

\begin{align} \int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\mathop{}\mathrm{d}x<\int_0^1x^4(1-x)^4\mathop{}\mathrm{d}x \end{align}

接下來我們計算這兩個積分，計算過程稍繁，但不算困難，都是大一微積分以下的知識結合運用。

積分不等式右式的計算

先計算右式，它只不過是多項式的積分，肯定不難，只是需要先展開再逐個積分，可能過程稍長。首先我們可以借由 Pascal’s triangle 將 $(1-x)^4$ 展開得到 $x^4-4x^3+6x^2-4x+1$ ，接著每一項中 $x$ 的次方直接加 $4$ 就有

\begin{align} x^4(1-x)^4=x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4 \end{align}

所以右式能做出

\begin{align} &\,\int_0^1x^4(1-x)^4\mathop{}\mathrm{d}x\\[3mm] =&\,\int_0^1 x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4 \mathop{}\mathrm{d}x \\[3mm] =&\,\left[\frac{x^9}{9}-\frac{4x^8}{8}+\frac{6x^7}{7}-\frac{4x^6}{6}+\frac{x^5}{5}\right]_0^1\\[3mm] =&\,\frac19-\frac12+\frac67-\frac23+\frac15\\[3mm] =&\,\frac1{630} \end{align}

積分不等式左式的計算

至於左式，是有理函數的積分，一般不難，只須依循固定流程。首先注意到它是個假分式，我們要先將其化為帶分式，所以先將 $x^8-4x^7+6x^6-6x^5+x^4$ 除以 $1+x^2$ ，得到

\begin{align} &\,x^8-4x^7+6x^6-6x^5+x^4 \\[3mm] =&\,(1+x^2)(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4)-4 \end{align}

將此結果代回分子

\begin{align} &\,\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\\[3mm] =&\,\frac{(1+x^2)(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4)-4}{1+x^2}\\[3mm] =&\, x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2} \end{align}

這就是帶分式的形式啦！所以左式

\begin{align} &\,\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\mathop{}\mathrm{d}x\\[3mm] =&\,\int_0^1x^6-4x^5+5x^4-4x^2\\[3mm] &\quad+4-\frac{4}{1+x^2}\mathop{}\mathrm{d}x\\[3mm] =&\,\int_0^1x^6-4x^5+5x^4-4x^2\\[3mm] &\,\quad+4 \mathop{}\mathrm{d}x-\int_0^1\frac{4}{1+x^2}\mathop{}\mathrm{d}x \end{align}

第一個積分是多項式的積分，可簡單算出 $\dfrac17-\dfrac23+1-\dfrac43+4=\dfrac{22}7$ ，至於第二個積分，並不需要再進一步分解，而是直接積分：

\begin{align} &\,4\cdot\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathop{}\mathrm{d}x\\[3mm] =&\,4\cdot\Big[\tan^{-1}x\Big]_0^1\\[3mm] =&\,4\cdot\Big(\tan^{-1}1-\tan^{-1}0\Big)\\[3mm] =&\,4\cdot\left(\frac{\pi}4-0\right)=\pi \end{align}

積分不等式的結論

這樣，我們就有

\begin{align} \frac{22}7-\pi<\frac1{630} \end{align}

這意思就是說， $\dfrac{22}{7}$ 比 $\pi$ 大一點，具體大多少並不確定，但這個誤差不會超過 $\dfrac{1}{630}$ 。

以上，我們用了有理函數 $\dfrac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}$ 小於多項式 $x^4(1-x)^4$ ，將兩者積分後就得到了這樣的誤差估計，整個過程看起來和圓並無關聯！

補充小技巧

最後再補充一個小技巧，可以在計算 $\displaystyle\int_0^1x^4(1-x)^4\mathop{}\mathrm{d}x$ 時迅速得多。

《白話微積分》7.2 gamma函數，介紹了

\begin{align} \Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}\mathop{}\mathrm{d} t \end{align}

這是階乘的推廣，就是說，當 $n$ 為正整數時，

\begin{align*} &\,\Gamma(n+1)\\[2mm] =&\,n!\\[2mm] =&\,n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1 \end{align*}

此外又有個 beta 函數 (beta function) ，其定義為

\begin{align*} &\,B(a,b)\\[2mm] =&\,\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}\mathop{}\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac{\Gamma(a)\cdot\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} \end{align*}

所以，現在看成 $a=b=5$ ：

\begin{align*} &\,B(5,5)\\[3mm] =&\,\int_0^1x^{4}(1-x)^{4}\mathop{}\mathrm{d}x\\[3mm] =&\,\frac{\Gamma(5)\cdot\Gamma(5)}{\Gamma(5+5)}\\[3mm] =&\,\frac{4!\cdot4!}{9!}\\[3mm] =&\,\frac{2\times3\times4}{5\times6\times7\times8\times9}\\[3mm] =&\,\frac1{630} \end{align*}

在熟悉 beta 函數的前提下，這個積分的計算會比我們剛剛暴力展開來得簡潔。

這麼方便的 beta 函數，是誰發明的呢？嘿嘿，又是歐拉！

歐拉頭像