微積分福音

一道夾擠定理練習題

2019 年 01 月 04 日

題目

\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{n^{2n}} \end{align*}

學過 Stirling 公式的同學，也許一看就知道能輕易解決此題。不過現在我們不使用 Stirling 公式，用更初等一些的解法來磨刀，訓練我們不等式放縮的技能。

解答

解法 1：展開與基礎放縮

解

\begin{align*} 0\le&\,\frac{(2n)!}{n^{2n}}\\[4mm] =&\,\frac{1\cdot2n}{n^2}\cdot \frac{2\cdot(2n-1)}{n^2}\times\cdots\times \frac{n(n+1)}{n^2}\\[4mm] \le&\,\frac{1\cdot2n}{n^2}\cdot \frac{(n+1)^2}{n^2}\times\cdots\times \frac{(n+1)^2}{n^2}\\[4mm] =&\,\frac{2}{n}\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)^2\times\cdots\times \left(1+\frac{1}{n}\right)^2\\[4mm] =&\,\frac{2}{n}\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n-2} \end{align*}

由於

\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n}\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n-2}=0 \end{align*}

故由夾擠定理知原極限為 $0$ 。

解法 2：前後項配對放縮

解

\begin{align*} 0\le&\,\frac{(2n)!}{n^{2n}}\\[4mm] =&\,\frac{n\cdot(2n)}{n^2}\cdot \frac{(n+1)(n-1)}{n^2}\cdot \frac{(n+2)(n-2)}{n^2}\times\cdots\times \frac{(2n-1)\cdot1}{n^2}\\[4mm] \le&\,2\cdot\frac{n^2}{n^2}\times\cdots\times \frac{n^2}{n^2}\cdot\frac{2n-1}{n^2} \end{align*}

由於

\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \frac{2(2n-1)}{n^2}=0 \end{align*}

故由夾擠定理知原極限為 $0$ 。

解法 3：利用算幾不等式

解

由算幾不等式

\begin{align*} \sqrt[2n-1]{(2n)!} \le\frac{2+3+\cdots+(2n-1)+2n}{2n-1} =n+1 \end{align*}

故有

\begin{align*} 0\le\frac{(2n)!}{n^{2n}} \le\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n-1}\cdot\frac{1}{n} \end{align*}

由於

\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n-1}\cdot\frac{1}{n}=0 \end{align*}

故由夾擠定理知原極限為 $0$ 。

練習

習題：試說明級數 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{n^{2n}}$ 收斂，從而其一般項趨向 $0$ 。

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