一道夾擠定理練習題

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}
\frac{(2n)!}{n^{2n}}
\end{align*}

解

學過 Stirling 公式的同學，也許一看就知道能輕易解決此題。不過現在我們不使用 Stirling 公式，用更初等一些的解法來磨刀，訓練我們不等式放縮的技能。

\begin{align*}
0\le&\,\frac{(2n)!}{n^{2n}}\\
=&\,\frac{1\cdot2n}{n^2}\cdot
\frac{2\cdot(2n-1)}{n^2}\times\cdots\times
\frac{n(n+1)}{n^2}\\
\le&\,\frac{1\cdot2n}{n^2}\cdot
\frac{(n+1)^2}{n^2}\times\cdots\times
\frac{(n+1)^2}{n^2}\\
=&\,\frac{2}{n}\cdot
\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\times\cdots\times
\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\\
=&\,\frac{2}{n}\cdot
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n-2}
\end{align*}
由於\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}
\frac{2}{n}\cdot
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n-2}=0
\end{align*}
故由夾擠定理知原極限為 \(0\)。

\begin{align*}
0\le&\,\frac{(2n)!}{n^{2n}}\\
=&\,\frac{n\cdot(2n)}{n^2}\cdot
\frac{(n+1)(n-1)}{n^2}\cdot
\frac{(n+2)(n-2)}{n^2}\times\cdots\times
\frac{(2n-1)\cdot1}{n^2}\\
\le&\,2\cdot\frac{n^2}{n^2}\times\cdots\times
\frac{n^2}{n^2}\cdot\frac{2n-1}{n^2}
\end{align*}
由於\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}
\frac{2(2n-1)}{n^2}=0
\end{align*}
故由夾擠定理知原極限為 \(0\)。

由算幾不等式\begin{align*}
\sqrt[2n-1]{(2n)!}
\le\frac{2+3+\cdots+(2n-1)+2n}{2n-1}
=n+1
\end{align*}
故有\begin{align*}
0\le\frac{(2n)!}{n^{2n}}
\le\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n-1}\cdot\frac{1}{n}
\end{align*}
由於\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}
\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n-1}\cdot\frac{1}{n}=0
\end{align*}
故由夾擠定理知原極限為 \(0\)。

練習：試說明級數 \(\medop
\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mfrac{(2n)!}{n^{2n}}\) 收斂，從而其一般項趨向 \(0\)。