變數代換解極限問題

在大一微積分剛開學的課程內容，遇到解極限的問題。

通常此時尚未學到均值定理、羅必達、泰勒展開、級數斂散等等主題，

所以能用的工具極其稀少，往往更考驗同學處理式子的技巧。

微積分中最重要的技巧就是變數代換，可以說是微積分的靈魂。

在剛開學的微積分課程，便經常使用到變數代換來解極限。

變數代換解極限例題

\begin{align*} \lim_{x\to\pi} \frac{\sin(mx)}{\sin(nx)}\;,\;m\ne n\,,\;m,n\in\mathbb{N}\qquad \end{align*}

解

我們對於變數趨向 $0$ 比較熟悉，所以設 $y=x-\pi$ ，這樣就有 $y\to 0$ ，於是變成

\begin{align*} &\,\lim_{y\to 0} \frac{\sin\big(m(y+\pi)\big)}{\sin\big(n(y+\pi)\big)}\\[4mm] =&\,\lim_{y\to 0} \frac{\sin(my+m\pi)}{\sin(ny+n\pi)} \end{align*}

因為 $\sin(x+\pi)=-\sin(x) , \sin(x+2\pi)=\sin(x), \cdots$

\begin{align*} =&\,\lim_{y\to 0} \frac{(-1)^m\sin(my)}{(-1)^n\sin(ny)}\\[4mm] =&\,(-1)^{m-n}\lim_{y\to 0}\frac{\sin(my)}{my}\\[4mm] &\quad \cdot\frac{ny}{\sin(ny)}\cdot\frac{m}{n}\qquad\qquad\\[4mm] =&\,(-1)^{m-n}\cdot\frac{m}{n} \end{align*}