變數代換解極限問題

在大一微積分剛開學的課程內容，遇到解極限的問題。

通常此時尚未學到均值定理、羅必達、泰勒展開、級數斂散等等主題，

所以能用的工具極其稀少，往往更考驗同學處理式子的技巧。

微積分中最重要的技巧就是變數代換，可以說是微積分的靈魂。

在剛開學的微積分課程，便經常使用到變數代換來解極限。

變數代換解極限例題

\begin{align*}
\lim_{x\to\pi}
\frac{\sin(mx)}{\sin(nx)}\;,\;m\ne n\,,\;m,n\in\mathbb{N}\qquad
\end{align*}

解

我們對於變數趨向 \(0\) 比較熟悉，所以設 \(y=x-\pi\) ，這樣就有 \(y\to 0\) ，於是變成

\begin{align*}
&\,\lim_{y\to 0}
\frac{\sin\big(m(y+\pi)\big)}{\sin\big(n(y+\pi)\big)}\\[1mm]
=&\,\lim_{y\to 0}
\frac{\sin(my+m\pi)}{\sin(ny+n\pi)}
\end{align*}
因為 \(\sin(x+\pi)=-\sin(x) , \sin(x+2\pi)=\sin(x), \cdots\)
\begin{align*}
=&\,\lim_{y\to 0}
\frac{(-1)^m\sin(my)}{(-1)^n\sin(ny)}\\[1mm]
=&\,(-1)^{m-n}\lim_{y\to 0}\frac{\sin(my)}{my}\\[1mm]
&\quad
\cdot\frac{ny}{\sin(ny)}\cdot\frac{m}{n}\qquad\qquad\\[1mm]
=&\,(-1)^{m-n}\cdot\frac{m}{n}
\end{align*}