本題包含兩小問，分別考察二重積分中「交換積分順序」與「極座標變換」的技巧。

a. 求解第 (13) 題

• 原積分內層對 $x$ 求導含有 $\frac{\cos x}{\sqrt{1+\cos^2 x}}$，其原函數不便直接求解。這提示我們應交換積分順序。
• 分析積分區域 $D$： $0 \le y \le 1$ 且 $\sin^{-1}y \le x \le \frac{\pi}{2}$。
• 邊界為 $x = \sin^{-1}y \implies y = \sin x$，以及 $x = \frac{\pi}{2}$。
• 轉換為先積 $y$、後積 $x$：外層 $x$ 從 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$；內層 $y$ 從下邊界 $y=0$ 到上邊界 $y=\sin x$。
• 計算新的二重積分。

b. 求解第 (14) 題

• 被積函數包含 $\sqrt{x^2+y^2}$，且積分區域邊界為 $y = \sqrt{2x-x^2} \implies x^2+y^2 = 2x$（這是一個圓心在 $(1,0)$、半徑為 1 的圓在第一象限的部分）。這提示我們應使用極座標變換。
• 極座標邊界： $r^2 = 2r\cos\theta \implies r = 2\cos\theta$。
• 由於 $y \ge 0$ 且 $x \in [0, 2]$，極角 $\theta$ 的變化範圍為 $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$。
• 積分式轉化為： $I = \int_0^{\pi/2} \int_0^{2\cos\theta} r \cdot r \,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$ 利用單變數積分與 Wallis 公式計算結果。

a. 求解第 (13) 題：交換積分順序

我們分析原積分的區域 $D$：

此區域邊界由 $x = \sin^{-1}y \implies y = \sin x$，以及水平線 $y = 0$, $y = 1$ 與垂直線 $x = \frac{\pi}{2}$ 圍成。

我們交換積分順序，改為先對 $y$ 積分、再對 $x$ 積分：

• 橫向來看， $x$ 的範圍為 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。
• 對於每一個固定的 $x$， $y$ 從下邊界 $y = 0$ 變化到上邊界曲線 $y = \sin x$。 新積分區域表示為：

重新寫為累次積分並求解：

我們使用換元法，令 $u = 1 + \cos^2 x \implies \mathrm{d}u = -2\cos x \sin x \,\mathrm{d}x$：

• 當 $x = 0 \implies u = 1 + 1^2 = 2$。
• 當 $x = \frac{\pi}{2} \implies u = 1 + 0 = 1$。

代入積分式中：

b. 求解第 (14) 題：極座標變換

我們分析原積分的區域 $D$：

邊界曲線為：

這是一個圓心在 $(1,0)$、半徑為 $1$ 的上半圓。

我們引入極座標變換：

此時被積函數為：

邊界圓的極座標方程式為：

由於區域位於第一象限，極角 $\theta$ 的變化範圍為：

對於每個固定的角度 $\theta$，極半徑 $r$ 的範圍為：

代入二重積分公式，寫為累次積分：

利用三角積分公式 $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3\theta \,\mathrm{d}\theta = \frac{2}{3}$：

結論：

• (13) 處應填入 $\sqrt{2} - 1$。
• (14) 處應填入 $\displaystyle \frac{16}{9}$。