1. 本題要求找出二元函數 $f(x,y) = -2x^4 + x^2y - y^2 + 7y$ 的所有臨界點，並使用二階導數判別法分類。
2. 第一步：求偏導函數並解方程組以尋找臨界點：
   • $f_x = -8x^3 + 2xy = 2x(y - 4x^2) = 0 \implies x = 0$ 或 $y = 4x^2$。
   • $f_y = x^2 - 2y + 7 = 0$。
   • 情況一：若 $x = 0 \implies -2y + 7 = 0 \implies y = \frac{7}{2}$。得到第一個臨界點 $\left( 0, \frac{7}{2} \right)$。
   • 情況二：若 $y = 4x^2 \implies x^2 - 8x^2 + 7 = 0 \implies 7x^2 = 7 \implies x = \pm 1$。
     • 若 $x = 1 \implies y = 4$。得到第二個臨界點 $(1, 4)$。
     • 若 $x = -1 \implies y = 4$。得到第三個臨界點 $(-1, 4)$。
3. 第二步：求二階偏導函數，寫出判別式 $D(x,y)$：
   • $f_{xx} = -24x^2 + 2y$。
   • $f_{yy} = -2$。
   • $f_{xy} = 2x$。
   • $D(x,y) = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-24x^2+2y)(-2) - 4x^2 = 44x^2 - 4y$。
4. 第三步：代入各個臨界點判定類型。

第一步：尋找臨界點（Critical Points）

我們對函數 $f(x, y) = -2x^4 + x^2 y - y^2 + 7y$ 計算偏導函數並令其為零：

• 由式 (1) 得： $x = 0$ 或 $y = 4x^2$。

• 情況一：若 $x = 0$： 代回式 (2) 得：

  $$0^2 - 2y + 7 = 0 \implies 2y = 7 \implies y = \frac{7}{2}$$

  得到第一個臨界點： $\displaystyle P_1\left(0,\, \frac{7}{2}\right)$。

• 情況二：若 $y = 4x^2$： 代回式 (2) 得：

  $$x^2 - 2(4x^2) + 7 = 0 \implies -7x^2 + 7 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$

  我們代回 $y = 4x^2$ 求出對應的 $y$ 值：

  • 當 $x = 1 \implies y = 4(1)^2 = 4$，得到點： $P_2(1,\, 4)$。
  • 當 $x = -1 \implies y = 4(-1)^2 = 4$，得到點： $P_3(-1,\, 4)$。

因此共有三個臨界點： $\displaystyle \left(0,\, \frac{7}{2}\right)$、 $(1,\, 4)$ 與 $(-1,\, 4)$。

第二步：使用二階偏導數進行分類（Second Derivative Test）

我們計算二階偏導函數：

• $\displaystyle f_{xx}(x, y) = -24x^2 + 2y$
• $\displaystyle f_{yy}(x, y) = -2$
• $\displaystyle f_{xy}(x, y) = 2x$

黑塞判別式（Discriminant）為：

我們分別將三個臨界點代入判別式中：

1. 對於點 $P_1\left(0,\, \frac{7}{2}\right)$：

   $$D\left(0,\, \frac{7}{2}\right) = 44(0)^2 - 4\left(\frac{7}{2}\right) = -14 < 0$$

   因為判別式 $D < 0$，所以此點為鞍點（Saddle point）。

2. 對於點 $P_2(1,\, 4)$：

   $$D(1,\, 4) = 44(1)^2 - 4(4) = 44 - 16 = 28 > 0$$

   此時 $D > 0$，我們再檢驗 $f_{xx}(1, 4)$ 的符號：

   $$f_{xx}(1, 4) = -24(1)^2 + 2(4) = -16 < 0$$

   因為 $D > 0$ 且 $f_{xx} < 0$，所以此點為局部極大值點（Local maximum）。 對應局部極大值為 $f(1, 4) = -2(1)^4 + 1^2(4) - 4^2 + 7(4) = -2 + 4 - 16 + 28 = 14$。

3. 對於點 $P_3(-1,\, 4)$：

   $$D(-1,\, 4) = 44(-1)^2 - 4(4) = 44 - 16 = 28 > 0$$

   此時 $D > 0$，我們再檢驗 $f_{xx}(-1, 4)$ 的符號：

   $$f_{xx}(-1, 4) = -24(-1)^2 + 2(4) = -16 < 0$$

   因為 $D > 0$ 且 $f_{xx} < 0$，所以此點亦為局部極大值點（Local maximum）。 對應局部極大值為 $f(-1, 4) = 14$。

結論： (12) 處應填入：臨界點為 $\displaystyle \left(0,\, \frac{7}{2}\right)$ 為鞍點； $(1,\, 4)$ 與 $(-1,\, 4)$ 為局部極大值點。