1. 本題要求函數 $F(x) = \int_0^{x^2} \left( \int_4^t f(u)\,\mathrm{d}u \right) \mathrm{d}t$ 的遞增區間。
2. 函數 $F(x)$ 遞增的條件為一階導數 $F'(x) > 0$。
3. 第一步：使用萊布尼茲法則求一階導函數 $F'(x)$：
   • 定義內層積函數為 $G(t) = \int_4^t f(u)\,\mathrm{d}u$。
   • $F(x) = \int_0^{x^2} G(t)\,\mathrm{d}t$。
   • 求導得： $F'(x) = G(x^2) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2) = 2x \int_4^{x^2} f(u)\,\mathrm{d}u$。
4. 第二步：分析不等式 $2x \int_4^{x^2} f(u)\,\mathrm{d}u > 0$：
   • 由於對所有 $u$ 都有 $f(u) > 0$：
     • 當 $x^2 > 4$ 時， $\int_4^{x^2} f(u)\,\mathrm{d}u > 0$。
     • 當 $x^2 < 4$ 時， $\int_4^{x^2} f(u)\,\mathrm{d}u < 0$。
   • 分成兩種乘積為正的情況討論：
     • 情況一： $2x > 0$ 且 $\int_4^{x^2} f(u)\,\mathrm{d}u > 0 \implies x > 0$ 且 $x^2 > 4 \implies x > 2$。
     • 情況二： $2x < 0$ 且 $\int_4^{x^2} f(u)\,\mathrm{d}u < 0 \implies x < 0$ 且 $x^2 < 4 \implies -2 < x < 0$。

函數 $F(x)$ 的單調遞增區間滿足一階導函數大於零，即 $F'(x) > 0$。

我們對其使用微積分基本定理與連鎖律求導。設 $G(t) = \int_4^t f(u)\,\mathrm{d}u$，則 $F(x) = \int_0^{x^2} G(t)\,\mathrm{d}t$：

我們需要求解不等式：

由於已知 $f(u) > 0$ 恆成立，定積分的符號完全取決於上下限的大小關係：

• 當 $x^2 > 4$ （即 $x > 2$ 或 $x < -2$）時，積分區間為正向 $\implies \int_4^{x^2} f(u)\,\mathrm{d}u > 0$。
• 當 $x^2 < 4$ （即 $-2 < x < 2$）時，積分區間為逆向 $\implies \int_4^{x^2} f(u)\,\mathrm{d}u < 0$。

現在我們分兩種情況使乘積為正：

1. 第一種情況：

   $$\begin{cases} 2x > 0 \\ \int_4^{x^2} f(u)\,\mathrm{d}u > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x^2 > 4 \end{cases} \implies x > 2$$

2. 第二種情況：

   $$\begin{cases} 2x < 0 \\ \int_4^{x^2} f(u)\,\mathrm{d}u < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ x^2 < 4 \end{cases} \implies -2 < x < 0$$

綜合以上，當 $x > 2$ 或 $-2 < x < 0$ 時，一階導數恆正。

結論： (5) 處應填入 $(-2, 0) \cup (2, \infty)$ （或 $x > 2$ 與 $-2 < x < 0$）。