題目
Problem
2. The plane x + 2 y + z = 2 x + 2y + z = 2 x + 2 y + z = 2 y = x 2 + z 2 y = x^2 + z^2 y = x 2 + z 2 y = x 2 + z 2 y = x^2 + z^2 y = x 2 + z 2 y = x 2 + z 2 y = x^2 + z^2 y = x 2 + z 2
解答
解法一：拉格朗日乘子法（雙約束條件）
思路
展開
本題要在兩個約束條件下，尋找距離原點的極值點。
目標函數：最小化與最大化距離平方 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2
第一個約束（平面）： g ( x , y , z ) = x + 2 y + z − 2 = 0 g(x,y,z) = x + 2y + z - 2 = 0 g ( x , y , z ) = x + 2 y + z − 2 = 0
第二個約束（拋物面，題目誤印為 cone）： h ( x , y , z ) = x 2 − y + z 2 = 0 h(x,y,z) = x^2 - y + z^2 = 0 h ( x , y , z ) = x 2 − y + z 2 = 0
第一步：利用偏導共面關係建立方程 ：
三個梯度向量：
∇ f = ⟨ 2 x , 2 y , 2 z ⟩ \nabla f = \langle 2x, 2y, 2z \rangle ∇ f = ⟨ 2 x , 2 y , 2 z ⟩ ∇ g = ⟨ 1 , 2 , 1 ⟩ \nabla g = \langle 1, 2, 1 \rangle ∇ g = ⟨ 1 , 2 , 1 ⟩ ∇ h = ⟨ 2 x , − 1 , 2 z ⟩ \nabla h = \langle 2x, -1, 2z \rangle ∇ h = ⟨ 2 x , − 1 , 2 z ⟩
根據拉格朗日乘子法，極值點處三個向量必須線性相關（共面），即行列式為零：
det ( x y z 1 2 1 2 x − 1 2 z ) = 0 ⟹ ( x − z ) ( 1 + 2 y ) = 0 \det \begin{pmatrix} x & y & z \\ 1 & 2 & 1 \\ 2x & -1 & 2z \end{pmatrix} = 0 \implies (x-z)(1+2y) = 0 det x 1 2 x y 2 − 1 z 1 2 z = 0 ⟹ ( x − z ) ( 1 + 2 y ) = 0
第二步：分情況討論求解 ：
情況一： x = z x = z x = z ：
代入 g ( x , y , z ) = 0 ⟹ 2 x + 2 y = 2 ⟹ y = 1 − x g(x,y,z) = 0 \implies 2x + 2y = 2 \implies y = 1-x g ( x , y , z ) = 0 ⟹ 2 x + 2 y = 2 ⟹ y = 1 − x
代入 h ( x , y , z ) = 0 ⟹ 2 x 2 = y ⟹ 2 x 2 + x − 1 = 0 ⟹ ( 2 x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 h(x,y,z) = 0 \implies 2x^2 = y \implies 2x^2 + x - 1 = 0 \implies (2x-1)(x+1) = 0 h ( x , y , z ) = 0 ⟹ 2 x 2 = y ⟹ 2 x 2 + x − 1 = 0 ⟹ ( 2 x − 1 ) ( x + 1 ) = 0
子情況 A： x = 1 / 2 ⟹ z = 1 / 2 , y = 1 / 2 x = 1/2 \implies z = 1/2, y = 1/2 x = 1/2 ⟹ z = 1/2 , y = 1/2 ( 1 2 , 1 2 , 1 2 ) \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) ( 2 1 , 2 1 , 2 1 ) f = 3 / 4 f = 3/4 f = 3/4
子情況 B： x = − 1 ⟹ z = − 1 , y = 2 x = -1 \implies z = -1, y = 2 x = − 1 ⟹ z = − 1 , y = 2 ( − 1 , 2 , − 1 ) (-1, 2, -1) ( − 1 , 2 , − 1 ) f = 6 f = 6 f = 6
情況二： y = − 1 / 2 y = -1/2 y = − 1/2 ：
代入拋物面方程 x 2 + z 2 = y = − 1 / 2 x^2 + z^2 = y = -1/2 x 2 + z 2 = y = − 1/2
由於 x , z x, z x , z x 2 + z 2 ≥ 0 x^2+z^2 \ge 0 x 2 + z 2 ≥ 0 − 1 / 2 -1/2 − 1/2 無實數解 。
第三步：比較距離平方值，確定最近點與最遠點 ：
最近點為 ( 1 2 , 1 2 , 1 2 ) \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) ( 2 1 , 2 1 , 2 1 ) 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 2 3
最遠點為 ( − 1 , 2 , − 1 ) (-1, 2, -1) ( − 1 , 2 , − 1 ) 6 \sqrt{6} 6
答題過程
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Note
題目勘誤說明：
題目中將關係式 y = x 2 + z 2 y = x^2 + z^2 y = x 2 + z 2 旋轉拋物面 (Paraboloid) 。我們將依照給定的代數方程 y = x 2 + z 2 y = x^2 + z^2 y = x 2 + z 2
我們需要在雙約束條件下，求目標函數（與原點的距離平方）的極值：
目標函數：
f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2
約束條件一：
g ( x , y , z ) = x + 2 y + z − 2 = 0 g(x, y, z) = x + 2y + z - 2 = 0 g ( x , y , z ) = x + 2 y + z − 2 = 0
約束條件二：
h ( x , y , z ) = x 2 − y + z 2 = 0 h(x, y, z) = x^2 - y + z^2 = 0 h ( x , y , z ) = x 2 − y + z 2 = 0
根據拉格朗日乘子法，最優解滿足偏導數的線性相關性，即三個梯度向量 ∇ f \nabla f ∇ f ∇ g \nabla g ∇ g ∇ h \nabla h ∇ h
∇ f = ⟨ 2 x , 2 y , 2 z ⟩ , ∇ g = ⟨ 1 , 2 , 1 ⟩ , ∇ h = ⟨ 2 x , − 1 , 2 z ⟩ \nabla f = \langle 2x,\, 2y,\, 2z \rangle, \quad \nabla g = \langle 1,\, 2,\, 1 \rangle, \quad \nabla h = \langle 2x,\, -1,\, 2z \rangle ∇ f = ⟨ 2 x , 2 y , 2 z ⟩ , ∇ g = ⟨ 1 , 2 , 1 ⟩ , ∇ h = ⟨ 2 x , − 1 , 2 z ⟩ 我們令其行列式（將第一行同除以 2）為零：
∣ x y z 1 2 1 2 x − 1 2 z ∣ = 0 \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 2 & 1 \\ 2x & -1 & 2z \end{vmatrix} = 0 x 1 2 x y 2 − 1 z 1 2 z = 0 對第一行進行拉普拉斯展開：
x ∣ 2 1 − 1 2 z ∣ − y ∣ 1 1 2 x 2 z ∣ + z ∣ 1 2 2 x − 1 ∣ = 0 x \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2z \end{vmatrix} - y \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2x & 2z \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2x & -1 \end{vmatrix} = 0 x 2 − 1 1 2 z − y 1 2 x 1 2 z + z 1 2 x 2 − 1 = 0 x ( 4 z + 1 ) − y ( 2 z − 2 x ) + z ( − 1 − 4 x ) = 0 x(4z + 1) - y(2z - 2x) + z(-1 - 4x) = 0 x ( 4 z + 1 ) − y ( 2 z − 2 x ) + z ( − 1 − 4 x ) = 0 4 x z + x − 2 y z + 2 x y − z − 4 x z = 0 4xz + x - 2yz + 2xy - z - 4xz = 0 4 x z + x − 2 y z + 2 x y − z − 4 x z = 0 ( x − z ) + 2 y ( x − z ) = 0 ⟹ ( x − z ) ( 1 + 2 y ) = 0 (x - z) + 2y(x - z) = 0 \implies (x - z)(1 + 2y) = 0 ( x − z ) + 2 y ( x − z ) = 0 ⟹ ( x − z ) ( 1 + 2 y ) = 0 由此，我們分成兩個分支討論：
情況一： x = z x = z x = z
我們將 x = z x = z x = z
代回平面方程 g = 0 g = 0 g = 0 x + 2 y + x = 2 ⟹ 2 x + 2 y = 2 ⟹ y = 1 − x x + 2y + x = 2 \implies 2x + 2y = 2 \implies y = 1 - x x + 2 y + x = 2 ⟹ 2 x + 2 y = 2 ⟹ y = 1 − x
代回拋物面方程 h = 0 h = 0 h = 0 x 2 − y + x 2 = 0 ⟹ 2 x 2 = y x^2 - y + x^2 = 0 \implies 2x^2 = y x 2 − y + x 2 = 0 ⟹ 2 x 2 = y
聯立此兩式：
2 x 2 = 1 − x ⟹ 2 x 2 + x − 1 = 0 ⟹ ( 2 x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 2x^2 = 1 - x \implies 2x^2 + x - 1 = 0 \implies (2x - 1)(x + 1) = 0 2 x 2 = 1 − x ⟹ 2 x 2 + x − 1 = 0 ⟹ ( 2 x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 得到兩個解：
情況二： y = − 1 2 y = -\frac{1}{2} y = − 2 1
我們將 y = − 1 2 y = -\frac{1}{2} y = − 2 1 h = 0 h = 0 h = 0
x 2 + z 2 = y ⟹ x 2 + z 2 = − 1 2 x^2 + z^2 = y \implies x^2 + z^2 = -\frac{1}{2} x 2 + z 2 = y ⟹ x 2 + z 2 = − 2 1 由於在實數域中，任何實數的平方和皆為非負數（即 x 2 + z 2 ≥ 0 x^2 + z^2 \ge 0 x 2 + z 2 ≥ 0 − 1 2 -\frac{1}{2} − 2 1 無實數解 。
結論
比較兩個可行點的距離平方值：
離原點的最近距離為 3 4 = 3 2 \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} 4 3 = 2 3 ( 1 2 , 1 2 , 1 2 ) \displaystyle \left( \frac{1}{2},\, \frac{1}{2},\, \frac{1}{2} \right) ( 2 1 , 2 1 , 2 1 )
離原點的最遠距離為 6 \sqrt{6} 6 ( − 1 , 2 , − 1 ) (-1,\, 2,\, -1) ( − 1 , 2 , − 1 )
結論：
最遠點為 ( − 1 , 2 , − 1 ) (-1, 2, -1) ( − 1 , 2 , − 1 )
最近點為 ( 1 2 , 1 2 , 1 2 ) \displaystyle \left( \frac{1}{2},\, \frac{1}{2},\, \frac{1}{2} \right) ( 2 1 , 2 1 , 2 1 )
