本題分為兩個部分：第一部分為機率密度函數 $f(x)$ 的圖形特徵分析與繪製，第二部分為期望值 $E(X)$ 的計算。

(1) 圖形分析與繪製

• 漸近線：
  • $\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} \frac{2e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} = 0 \implies y = 0$ 是 $x \to \infty$ 時的水平漸近線。
  • 對於 $x < 0$， $f(x) = 0 \implies y = 0$ 是 $x \to -\infty$ 時的水平漸近線。
• 單調性與極值：
  • 將 $f(x)$ 寫為 $\frac{2e^x}{(e^x+1)^2}$，對 $x > 0$ 求導： $f'(x) = -\frac{2e^x(e^x-1)}{(e^x+1)^3}$
  • 當 $x > 0$ 時， $e^x > 1 \implies f'(x) < 0$ 恆成立。
  • 故在區間 $(0, \infty)$ 上， $f(x)$ 嚴格單調遞減。
  • 在 $x = 0$ 處有局部極大值（也是左側起點值） $f(0) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
• 凹凸性與反曲點：
  • 對 $x > 0$ 求二階導函數： $f''(x) = \frac{2e^x(e^{2x} - 4e^x + 1)}{(e^x+1)^4}$
  • 令 $f''(x) = 0 \implies e^{2x} - 4e^x + 1 = 0 \implies e^x = 2 + \sqrt{3}$（因 $e^x > 1$，另一根 $2-\sqrt{3} < 1$ 不合）。
  • 得 $x = \ln(2+\sqrt{3})$。在此點兩側 $f''(x)$ 變號，故反曲點為 $\left( \ln(2+\sqrt{3}), \frac{2(2-\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3}+1)^2} \right)$ 等。

(2) 計算期望值 $E(X) = \int_0^\infty x \frac{2e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} \,\mathrm{d}x$

• 注意到被積函數的結構，可以使用分部積分法： $\int x \frac{2e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} \,\mathrm{d}x = 2 \int x \,\mathrm{d}\left( \frac{1}{1+e^{-x}} \right)$ 但這樣做在 $x \to \infty$ 時，邊界項 $\frac{x}{1+e^{-x}} \to \infty$ 會發散，處理起來較為麻煩。
• 更好的代數整理方法： 將 $f(x)$ 寫成 $2 \frac{e^x}{(1+e^x)^2}$，則其原函數為 $\frac{-2}{1+e^x}$。 $E(X) = \int_0^\infty x \left( \frac{2e^x}{(1+e^x)^2} \right) \mathrm{d}x = \int_0^\infty x \,\mathrm{d}\left( \frac{-2}{1+e^x} \right)$ 使用分部積分法： $= \left[ \frac{-2x}{1+e^x} \right]_0^\infty - \int_0^\infty \frac{-2}{1+e^x} \,\mathrm{d}x$
  • 當 $x \to \infty$ 時，根據羅必達法則， $\lim_{x\to\infty} \frac{-2x}{1+e^x} = 0$。
  • 當 $x = 0$ 時，值為 $0$。 所以邊界項為 $0$！ 剩餘積分為： $2 \int_0^\infty \frac{1}{1+e^x} \,\mathrm{d}x = 2 \int_0^\infty \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1} \,\mathrm{d}x = 2 \Big[ -\ln(e^{-x}+1) \Big]_0^\infty = 2\ln 2$

(1) 函數 $f(x)$ 圖形描繪與特徵分析

我們只須考慮 $x \ge 0$ 的部分（對於 $x < 0$， $f(x) = 0$ 是一條與 $x$ 軸重合的射線）。

1. 水平漸近線：

   $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2e^{-x}}{\left(1 + e^{-x}\right)^2} = \frac{0}{(1+0)^2} = 0$$

   故當 $x \to \infty$ 時，具有水平漸近線 $y = 0$。當 $x \to -\infty$ 時也有水平漸近線 $y = 0$。

2. 單調性與極值： 將 $f(x)$ 寫成：

   $$f(x) = \frac{2e^x}{\left(e^x + 1\right)^2} \quad (x \ge 0)$$

   對 $x > 0$ 求一階導函數：

   $$f'(x) = \frac{2e^x(e^x+1)^2 - 2e^x \cdot 2(e^x+1)e^x}{(e^x+1)^4} = \frac{2e^x(e^x+1) - 4e^{2x}}{(e^x+1)^3} = -\frac{2e^x(e^x - 1)}{(e^x+1)^3}$$

   因為當 $x > 0$ 時， $e^x > 1 \implies e^x - 1 > 0$，所以 $f'(x) < 0$ 恆成立。

   • 單調遞減區間為： $(0, \infty)$。
   • 在 $x = 0$ 處取得最大值（起點極大值）： $f(0) = \frac{2(1)}{(1+1)^2} = \frac{1}{2}$。

3. 凹凸性與反曲點： 對 $x > 0$ 求二階導函數：

   $$\begin{align*} f''(x) =&\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \frac{2e^x - 2e^{2x}}{(e^x+1)^3} \right] \\[4mm] =&\, \frac{\left(2e^x - 4e^{2x}\right)(e^x+1)^3 - \left(2e^x - 2e^{2x}\right) \cdot 3(e^x+1)^2 e^x}{(e^x+1)^6} \\[4mm] =&\, \frac{2e^x\left(e^{2x} - 4e^x + 1\right)}{(e^x+1)^4} \end{align*}$$

   令 $f''(x) = 0 \implies e^{2x} - 4e^x + 1 = 0$。 設 $t = e^x$，方程式為 $t^2 - 4t + 1 = 0 \implies t = 2 \pm \sqrt{3}$。

   • 由於 $x > 0 \implies e^x > 1$，我們捨去小於 1 的根 $2 - \sqrt{3}$。
   • 唯一合適解為 $e^x = 2 + \sqrt{3} \implies x = \ln\left(2 + \sqrt{3}\right)$。 由於二階導數在 $x = \ln\left(2+\sqrt{3}\right) \approx 1.317$ 兩側變號：
   • 凹向下區間為： $\left(0,\, \ln(2+\sqrt{3})\right)$。
   • 凹向上區間為： $\left(\ln(2+\sqrt{3}),\, \infty\right)$。
   • 反曲點為： $\left(\ln(2+\sqrt{3}),\, \frac{2(2+\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3}+1)^2}\right) = \left(\ln(2+\sqrt{3}),\, \frac{\sqrt{3}}{6}\right)$。

4. 圖形描繪：

   • 圖形在 $x < 0$ 時為 $y = 0$。
   • 在 $x = 0$ 處有跳躍間斷（或在此單側連續），從起點 $(0, 1/2)$ 開始向右單調遞減。
   • 曲線在區間 $\left( 0, \ln(2+\sqrt{3}) \right)$ 為凹向下 $\cap$，通過反曲點後轉為凹向上 $\cup$，最後以 $x$ 軸為漸近線無限逼近。

(2) 求解期望值 $E(X)$

我們計算定積分：

觀察到 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \frac{-2}{e^x + 1} \right) = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2}$，我們使用分部積分法（Integration by Parts）：

我們評估邊界項的極限：

• 當 $x \to \infty$ 時： $$\lim_{x \to \infty} \frac{-2x}{e^x + 1} \stackrel{\text{L.H.}}{=} \lim_{x \to \infty} \frac{-2}{e^x} = 0$$
• 當 $x = 0$ 時，值為 $0$。 故邊界項為 $0$。

積分式簡化為：

我們對被積函數分子分母同乘以 $e^{-x}$，進行換元積分：

結論：

1. 函數特徵：水平漸近線 $y = 0$，單調遞減區間 $(0, \infty)$，反曲點 $\displaystyle \left(\ln(2+\sqrt{3}),\, \frac{\sqrt{3}}{6}\right)$。
2. 期望值為 $2\ln 2$。