1. 本題要求計算三重積分。被積函數為 $\sqrt{x^2+y^2+z^2} = \rho$。且積分區域邊界充滿圓弧與球面，這提示我們使用球座標系 (Spherical Coordinates)。
2. 第一步：分析積分區域 $E$ 的幾何結構：
   • 投影區域（外兩層）： $0 \le x \le 2$ 且 $0 \le y \le \sqrt{4-x^2}$（這是 $xy$ 平面上第一象限內半徑為 2 的四分之一圓）。
   • 內層 $z$ 範圍： $2-\sqrt{4-x^2-y^2} \le z \le 2+\sqrt{4-x^2-y^2}$。
     • 對兩端移項平方： $(z-2)^2 \le 4 - x^2 - y^2 \implies x^2 + y^2 + (z-2)^2 \le 4$。
     • 這是一個圓心在 $(0, 0, 2)$、半徑為 2 的立體球。
   • 結合 $x \ge 0, y \ge 0$，整個區域 $E$ 是該立體球在第一卦限（$x \ge 0, y \ge 0$）內的部分（即四分之一球體）。
3. 第二步：將球體邊界轉換為球座標表示：
   • 球座標變換公式：
     • $x = \rho \sin\phi \cos\theta$
     • $y = \rho \sin\phi \sin\theta$
     • $z = \rho \cos\phi$
     • $\mathrm{d}V = \rho^2 \sin\phi \,\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta$
   • 邊界球面方程式： $x^2 + y^2 + z^2 - 4z \le 0 \implies \rho^2 - 4\rho\cos\phi \le 0 \implies \rho \le 4\cos\phi$
4. 第三步：確定積分變數的邊界範圍：
   • 由於 $x \ge 0, y \ge 0 \implies \theta$ 的範圍為 $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$。
   • 球體完全位於 $z \ge 0$（因為球心在 $(0,0,2)$ 且半徑為 2，最低點在 $z=0$），且與原點相切，所以天頂角 $\phi$ 的範圍為 $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$。
   • 對於任意固定的 $\theta$ 與 $\phi$，極半徑 $\rho$ 從 $0$（原點）變化到球面邊界 $\rho = 4\cos\phi$。
5. 第四步：列出累次積分並求解： $I = \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \int_0^{4\cos\phi} \rho \cdot \left( \rho^2 \sin\phi \right) \,\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta$

我們首先分析三重積分的積分區域 $E$：

我們將 $z$ 的邊界不等式進行整理：

這代表一個半徑為 $2$、圓心在 $(0, 0, 2)$ 的球體。 因為 $x \ge 0$ 且 $0 \le y \le \sqrt{4-x^2}$（第一象限），故 $E$ 為該球體在第一卦限（$x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$）內的四分之一球體。

我們引入球座標系變換：

其中被積函數為：

體積微元為：

將球體邊界方程式轉換為球座標形式：

我們確定球座標下的積分範圍：

• 因為 $x \ge 0, y \ge 0$，極角 $\theta$ 範圍為： $\displaystyle 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$。
• 因為整個球體位於 $z \ge 0$ 上方且與原點相切，天頂角 $\phi$ 範圍為： $\displaystyle 0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}$。
• 極徑 $\rho$ 範圍為： $\displaystyle 0 \le \rho \le 4\cos\phi$。

代入三重積分公式計算：

我們使用換元積分法，令 $u = \cos\phi \implies \mathrm{d}u = -\sin\phi\,\mathrm{d}\phi$：

• 當 $\phi = 0 \implies u = 1$。
• 當 $\phi = \frac{\pi}{2} \implies u = 0$。

代入得：

結論： (9) 處應填入 $\displaystyle \frac{32\pi}{5}$。