1. 本題要在約束條件 $g(x,y,z) = \sqrt{x} + 2\sqrt{2}\sqrt{y} + 3\sqrt{3}\sqrt{z} - 14 = 0$ 下，最小化到原點的距離（即最小化距離平方 $f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2$）。 其中 $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$。
2. 第一步：建立拉格朗日乘子方程組 $\nabla f = \lambda \nabla g$：
   • 求偏導數： $\nabla f = \langle 2x, 2y, 2z \rangle$ $\nabla g = \left\langle \frac{1}{2\sqrt{x}}, \ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}, \ \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{z}} \right\rangle$
   • 建立方程：
     1. $2x = \frac{\lambda}{2\sqrt{x}} \implies 4x^{3/2} = \lambda$
     2. $2y = \frac{\sqrt{2}\lambda}{\sqrt{y}} \implies 2y^{3/2} = \sqrt{2}\lambda \implies y^{3/2} = \frac{\lambda}{\sqrt{2}}$
     3. $2z = \frac{3\sqrt{3}\lambda}{2\sqrt{z}} \implies 4z^{3/2} = 3\sqrt{3}\lambda \implies z^{3/2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}\lambda$
3. 第二步：建立 $y, z$ 與 $x$ 的比例關係：
   • 由上述式子消去 $\lambda$：
     • $\lambda = 4x^{3/2}$。
     • 代入 $y$ 的方程： $y^{3/2} = \frac{4x^{3/2}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} x^{3/2} = (2)^{3/2} x^{3/2} \implies y = 2x$。
     • 代入 $z$ 的方程： $z^{3/2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} (4x^{3/2}) = 3\sqrt{3} x^{3/2} = (3)^{3/2} x^{3/2} \implies z = 3x$。
4. 第三步：代回約束條件求解：
   • $\sqrt{x} + \sqrt{8(2x)} + \sqrt{27(3x)} = 14 \implies \sqrt{x} + 4\sqrt{x} + 9\sqrt{x} = 14 \implies 14\sqrt{x} = 14 \implies x = 1$。
   • 因此 $y = 2, z = 3$。最接近點為 $(1, 2, 3)$。

我們要尋找曲面上離原點最近的點，這等價於在約束條件下最小化點 $(x,y,z)$ 到原點的距離平方。 目標函數：

約束條件：

我們將約束條件整理為（其中 $x, y, z \ge 0$）：

根據拉格朗日乘子法，最優解滿足偏導平行：

我們分別計算梯度向量：

建立聯立方程組：

由式 (1) 知 $\lambda = 4x^{3/2}$。我們將其代入式 (2) 與式 (3) 以消去 $\lambda$：

• 解 $y$：

  $$\sqrt{2}y^{3/2} = 4x^{3/2} \implies y^{3/2} = \frac{4}{\sqrt{2}} x^{3/2} = 2\sqrt{2} x^{3/2}$$

  由於 $2\sqrt{2} = 2^{3/2}$，兩側取 $\frac{2}{3}$ 次方得：

  $$y = 2x$$

• 解 $z$：

  $$\frac{4}{3\sqrt{3}}z^{3/2} = 4x^{3/2} \implies z^{3/2} = 3\sqrt{3} x^{3/2}$$

  由於 $3\sqrt{3} = 3^{3/2}$，兩側取 $\frac{2}{3}$ 次方得：

  $$z = 3x$$

我們將 $y = 2x$ 與 $z = 3x$ 代回約束條件式 (4)：

代回比例關係可求得其他座標：

• $y = 2(1) = 2$
• $z = 3(1) = 3$

因此，曲面上離原點最近的點為 $(1, 2, 3)$。

結論： (8) 處應填入 $(1, 2, 3)$。