1. 本題要判斷廣義（反常）積分 $\int_2^\infty \frac{\mathrm{d}x}{x(x^2 - 1)^{3/2}}$ 的收斂性並求值。
2. 被積式分母包含 $(x^2-1)^{3/2}$，且積分區間為 $x \ge 2$，適合使用三角代換法。
3. 第一步：選取代換變數：
   • 令 $x = \sec u \implies \mathrm{d}x = \sec u \tan u \,\mathrm{d}u$。
   • 根式項： $\sqrt{x^2-1} = \tan u$。
4. 第二步：更換積分上下限：
   • 當 $x = 2 \implies \sec u = 2 \implies u = \frac{\pi}{3}$。
   • 當 $x \to \infty \implies \sec u \to \infty \implies u \to \frac{\pi}{2}$。
5. 第三步：寫出新定積分並求解：
   • 代入後化簡： $\int_{\pi/3}^{\pi/2} \frac{\sec u \tan u}{\sec u \tan^3 u} \,\mathrm{d}u = \int_{\pi/3}^{\pi/2} \cot^2 u \,\mathrm{d}u$
   • 利用恆等式 $\cot^2 u = \csc^2 u - 1$： $\int_{\pi/3}^{\pi/2} (\csc^2 u - 1) \,\mathrm{d}u = \Big[ -\cot u - u \Big]_{\pi/3}^{\pi/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{6}$
   • 由於積分值為收斂的實數，故反常積分收斂。

我們引入三角代換，令：

因為 $x \ge 2 > 1$，我們可以限制 $u \in \left[ \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2} \right)$，此時 $\tan u > 0$：

更換積分上下限：

• 當 $x = 2$ 時， $\sec u = 2 \implies \cos u = \frac{1}{2} \implies u = \frac{\pi}{3}$。
• 當 $x \to \infty$ 時， $\sec u \to \infty \implies u \to \frac{\pi}{2}^-$。

將其代入原積分式：

利用三角恆等式 $\cot^2 u = \csc^2 u - 1$：

代入三角函數基本值：

• $\cot\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$
• $\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

代入計算：

由於積分值為一個確定實數，該反常積分為收斂（convergent），其收斂值為 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{6}$。

結論： (7) 處應填入 convergent, 1/\sqrt{3} - \pi/6（或 收斂，1/\sqrt{3} - \pi/6 形式）。