1. 本題求平面區域繞 $x$ 軸旋轉的旋轉體體積。
2. 根據圓盤法 (Disk Method)，旋轉體體積為： $V = \int_a^b \pi y^2 \,\mathrm{d}x = \pi \int_1^4 \frac{1}{x(\sqrt{x}+1)^2} \,\mathrm{d}x$
3. 第一步：進行代換積分消去根式：
   • 令 $x = u^2 \implies \mathrm{d}x = 2u\,\mathrm{d}u$。
   • 更換積分上下限：
     • 當 $x = 1 \implies u = 1$。
     • 當 $x = 4 \implies u = 2$。
   • 帶入原式： $V = \pi \int_1^2 \frac{1}{u^2(u+1)^2} \cdot 2u\,\mathrm{d}u = 2\pi \int_1^2 \frac{1}{u(u+1)^2} \,\mathrm{d}u$
4. 第二步：使用部分分式展開法分解被積式：
   • 設 $\frac{1}{u(u+1)^2} = \frac{A}{u} + \frac{B}{u+1} + \frac{C}{(u+1)^2}$。
   • 通分求得： $A = 1, B = -1, C = -1$。
   • 展開為： $\frac{1}{u} - \frac{1}{u+1} - \frac{1}{(u+1)^2}$。
5. 第三步：求原函數並計算定積分值：
   • $\int \left( \frac{1}{u} - \frac{1}{u+1} - \frac{1}{(u+1)^2} \right) \mathrm{d}u = \ln\left| \frac{u}{u+1} \right| + \frac{1}{u+1}$。
   • 代入上下限 $u \in [1, 2]$。

根據圓盤法，繞 $x$ 軸旋轉的體積公式為：

代入本題函數與範圍：

我們進行變數代換，令：

更換積分界限：

• 當 $x = 1$ 時， $u = 1$。
• 當 $x = 4$ 時， $u = 2$。

代入積分式中：

我們使用部分分式展開法（Partial Fractions）分解被積函數：

同乘分母 $u(u+1)^2$：

我們代入特殊值：

• 令 $u = 0 \implies 1 = A(1)^2 \implies A = 1$。
• 令 $u = -1 \implies 1 = C(-1) \implies C = -1$。
• 對比二次項係數： $0 = A + B \implies B = -A = -1$。

因此：

代回積分並求值：

代入上限 $u = 2$ 與下限 $u = 1$：

結論： (6) 處應填入 $\displaystyle 2\pi \left( \ln\frac{4}{3} - \frac{1}{6} \right)$。