1. 本題要求連續函數 $f(x) = x^6 e^{-2x^2}$ 在其定義域 $(-\infty, \infty)$ 上的絕對最大值。
2. 第一步：求一階導函數以尋找臨界點：
   • 使用乘積求導法則與連鎖律： $f'(x) = 6x^5 e^{-2x^2} + x^6 e^{-2x^2} (-4x) = 2x^5 e^{-2x^2}(3 - 2x^2)$
   • 令 $f'(x) = 0 \implies x^5(3-2x^2) = 0 \implies x = 0$ 或 $x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$。
3. 第二步：分析臨界點函數值與邊界行為：
   • 由於對所有實數 $x$， $x^6 \ge 0$ 且 $e^{-2x^2} > 0$，所以 $f(x) \ge 0$ 恆成立。
   • 當 $x \to \pm\infty$ 時， $f(x) \to 0$。
   • 計算各臨界點的函數值：
     • $f(0) = 0$。
     • $f\left(\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\right) = \left( \frac{3}{2} \right)^3 e^{-2(3/2)} = \frac{27}{8} e^{-3} = \frac{27}{8e^3}$。
   • 比較大小，絕對最大值必為 $\frac{27}{8e^3}$。

我們首先對函數 $f(x) = x^6 e^{-2x^2}$ 求一階導函數： 利用乘積法則與連鎖律：

我們令 $f'(x) = 0$ 以尋找臨界點。由於指數項 $e^{-2x^2} > 0$ 恆成立：

我們探討函數在整個實數集上的斂散趨勢：

1. 非負性：對於所有 $x \in \mathbb{R}$，有 $f(x) \ge 0$。
2. 無窮遠極限： $$\lim_{x\to \pm\infty} f(x) = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{x^6}{e^{2x^2}} = 0$$ 這表明函數在無窮遠處漸近趨近於 $0$。

接下來計算臨界點的函數值：

• 在 $x = 0$ 處： $$f(0) = 0$$
• 在 $x = \pm\sqrt{\frac{3}{2}}$ 處： $$f\left(\pm\sqrt{\frac{3}{2}}\right) = \left( \left(\pm\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2 \right)^3 e^{-2\left(\pm\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2} = \left( \frac{3}{2} \right)^3 e^{-2\left(\frac{3}{2}\right)} = \frac{27}{8} e^{-3} = \frac{27}{8e^3}$$

因為 $f(\pm\sqrt{3/2}) = \frac{27}{8e^3} > 0$ 且無窮遠極限為 $0$，故此值為絕對最大值。

結論： (3) 處應填入 $\displaystyle \frac{27}{8e^3}$。