1. 本題要求計算二重積分 $\iint_R \left[ \cos\left( \frac{y-x}{y+x} \right) \right]^2 \,\mathrm{d}A$。
2. 由於被積函數包含 $\frac{y-x}{y+x}$，且積分區域 $R$ 是一個梯形區域。這強烈提示我們應使用變數變換 (Change of Variables)。
3. 第一步：選取代換變數並分析新邊界：
   • 令 $u = y - x$， $v = y + x$。
   • 梯形區域的邊界由四條直線圍成：
     • $x = 0 \implies u = y, v = y \implies u = v$。
     • $y = 0 \implies u = -x, v = x \implies u = -v$。
     • $x + y = 2 \implies v = 2$。
     • $x + y = 3 \implies v = 3$。
   • 因此，在新座標系 $uv$ 下，積分區域 $D_{uv}$ 為： $2 \le v \le 3$，且對於固定的 $v$， $-v \le u \le v$。
4. 第二步：計算雅可比（Jacobian）行列式：
   • 逆變換為 $x = \frac{v-u}{2}, y = \frac{v+u}{2}$。
   • $J = \det \begin{pmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} = -\frac{1}{2}$。
   • 面積微元變換： $\mathrm{d}A = \mathrm{d}x\mathrm{d}y = |J|\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v = \frac{1}{2}\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v$。
5. 第三步：列出累次積分並進行計算：
   • 被積函數化為 $\cos^2(u/v)$。
   • 利用 $\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ 降冪積分。

我們引入變數變換，令：

我們分析梯形區域 $R$ 的邊界在 $uv$-平面上的對應關係。 梯形區域 $R$ 的四個邊界直線為：

1. $y$ 軸 ($x = 0$)：代入得 $u = y$ 且 $v = y \implies u = v$。
2. $x$ 軸 ($y = 0$)：代入得 $u = -x$ 且 $v = x \implies u = -v$。
3. 下底斜線 ($x + y = 2$)：代入得 $v = 2$。
4. 上底斜線 ($x + y = 3$)：代入得 $v = 3$。

因此，變換後的積分區域 $D_{uv}$ 表示為：

接下來計算雅可比行列式（Jacobian）。我們求反變換：

其偏導數行列式為：

所以面積微元轉換為：

代入二重積分公式，寫為累次積分形式：

由於被積函數 $\cos^2(u/v)$ 關於變數 $u$ 是偶函數，我們可以使用對稱性簡化內層積分：

利用餘弦半角公式 $\cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$：

將內層積分結果代回外層關於 $v$ 的積分：

結論： 積分值為 $\displaystyle \frac{5}{4} \left( 1 + \frac{\sin 2}{2} \right)$。