1. 當 $x \to 0$ 時，分子為 $\sqrt{4} - 2 = 0$，分母為 $\tan^{-1}(0) = 0$，此為 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
2. 我們可以直接使用羅必達法則 (L’Hôpital’s Rule) 進行極限計算。
3. 第一步：求分子與分母的導數：
   • 分子求導： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sqrt{x+4}-2) = \frac{1}{2\sqrt{x+4}}$。
   • 分母求導： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\tan^{-1}(\pi x)) = \frac{\pi}{1+(\pi x)^2}$。
4. 第二步：求導後極限值： $\lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x+4}}}{\frac{\pi}{1+(\pi x)^2}} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{4}}}{\frac{\pi}{1+0}} = \frac{1/4}{\pi} = \frac{1}{4\pi}$

原極限為 $\frac{0}{0}$ 型未定式。我們使用羅必達法則，對分子與分母分別關於 $x$ 求導：

計算導函數項目：

• 分子： $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \sqrt{x + 4} - 2 \right) = \frac{1}{2\sqrt{x + 4}}$$
• 分母： $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \tan^{-1}(\pi x) \right) = \frac{1}{1 + (\pi x)^2} \cdot \pi = \frac{\pi}{1 + \pi^2 x^2}$$

將導函數代回極限式中：

代入 $x = 0$：

結論： (1) 處應填入 $\displaystyle \frac{1}{4\pi}$。