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111 台灣大學微積分(C) 第 7 題

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111學年度 · 111台大微積分C · 第 7 題

題目

Problem

7. Evaluate the given double integrals. (10%)

  • ∫04∫032−2y2ycos⁡(x3−96x) dxdy=(13)‾\displaystyle\int_0^4 \int_0^{\sqrt{32-2y^2}} y\cos(x^3 - 96x)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \underline{\quad (13) \quad}

  • ∫04∫032−2y2sin⁡(x2+2y2) dxdy=(14)‾\displaystyle\int_0^4 \int_0^{\sqrt{32-2y^2}} \sin(x^2 + 2y^2)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \underline{\quad (14) \quad}

解答

(a)

解法一

思路

展開
  1. 積分區域由 0≤y≤40 \le y \le 4 及 0≤x≤32−2y20 \le x \le \sqrt{32-2y^2} 圍成。此邊界為橢圓 x232+y216=1\frac{x^2}{32} + \frac{y^2}{16} = 1 的第一象限區域。
  2. 由於 cos⁡(x3−96x)\cos(x^3-96x) 對 xx 無法求得初等反導函數，我們必須交換積分順序。
  3. 轉換後，先對 yy 積分： 0≤x≤420 \le x \le 4\sqrt{2}， 0≤y≤16−x220 \le y \le \sqrt{16 - \frac{x^2}{2}}。
  4. 積分 yy 後得到 12y2\frac{1}{2}y^2，代入邊界得到一個關於 xx 的多項式乘上餘弦函數，利用代換積分法求解。

答題過程

展開

原積分區域為第一象限之橢圓板：

D={(x,y):0≤y≤4,0≤x≤32−2y2}D = \left\{ (x, y) : 0 \le y \le 4, 0 \le x \le \sqrt{32-2y^2} \right\}

其右邊界為 x2+2y2=32  ⟹  y=16−x22x^2 + 2y^2 = 32 \implies y = \sqrt{16 - \frac{x^2}{2}}，而 xx 最右端為 32=42\sqrt{32} = 4\sqrt{2}。

交換積分順序：

I1=∫042∫016−x2/2ycos⁡(x3−96x) dydx=∫042cos⁡(x3−96x)[12y2]016−x2/2 dx=14∫042(32−x2)cos⁡(x3−96x) dxI_1 = \int_0^{4\sqrt{2}} \int_0^{\sqrt{16 - x^2/2}} y\cos(x^3 - 96x)\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x = \int_0^{4\sqrt{2}} \cos(x^3 - 96x) \left[ \frac{1}{2}y^2 \right]_0^{\sqrt{16 - x^2/2}}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{4} \int_0^{4\sqrt{2}} (32 - x^2) \cos(x^3 - 96x)\,\mathrm{d}x

使用代換積分法，令 u=x3−96x  ⟹  du=(3x2−96) dx=−3(32−x2) dx  ⟹  (32−x2) dx=−13 duu = x^3 - 96x \implies \mathrm{d}u = (3x^2 - 96)\,\mathrm{d}x = -3(32 - x^2)\,\mathrm{d}x \implies (32-x^2)\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{3}\,\mathrm{d}u。

  • 當 x=0  ⟹  u=0x=0 \implies u=0。
  • 當 x=42  ⟹  u=(42)3−96(42)=1282−3842=−2562x=4\sqrt{2} \implies u=(4\sqrt{2})^3 - 96(4\sqrt{2}) = 128\sqrt{2} - 384\sqrt{2} = -256\sqrt{2}。

代入積分式：

I1=14∫0−2562cos⁡u(−13 du)=−112[sin⁡u]0−2562=−112sin⁡(−2562)I_1 = \frac{1}{4} \int_0^{-256\sqrt{2}} \cos u \left( -\frac{1}{3}\,\mathrm{d}u \right) = -\frac{1}{12} \left[ \sin u \right]_0^{-256\sqrt{2}} = -\frac{1}{12} \sin(-256\sqrt{2})

根據正弦函數的奇函數性質 sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta) = -\sin\theta：

I1=sin⁡(2562)12I_1 = \boxed{\frac{\sin(256\sqrt{2})}{12}}

(b)

解法一

思路

展開
  1. 積分區域仍為橢圓區域 x2+2y2≤32x^2 + 2y^2 \le 32。
  2. 由於被積函數含有 x2+2y2x^2+2y^2，最適合使用橢圓極座標變換： x=rcos⁡θ,y=r2sin⁡θx = r\cos\theta, \quad y = \frac{r}{\sqrt{2}}\sin\theta
  3. 對應雅可比行列式 J=r2J = \frac{r}{\sqrt{2}}。
  4. 積分限轉化為 r∈[0,42]r \in [0, 4\sqrt{2}]， θ∈[0,π/2]\theta \in [0, \pi/2]。

答題過程

展開

令橢圓座標變換：

x=rcos⁡θ,y=r2sin⁡θx = r\cos\theta, \quad y = \frac{r}{\sqrt{2}}\sin\theta

則被積函數中 x2+2y2=r2cos⁡2θ+2(r22sin⁡2θ)=r2x^2 + 2y^2 = r^2\cos^2\theta + 2\left(\frac{r^2}{2}\sin^2\theta\right) = r^2。 且其 Jacobian 雅可比行列式為：

J=r2J = \frac{r}{\sqrt{2}}

對應的新區域為 0≤r≤32=420 \le r \le \sqrt{32} = 4\sqrt{2}，且 0≤θ≤π20 \le \theta \le \frac{\pi}{2}。

計算二重積分：

I2= ∫0π/2∫042sin⁡(r2)⋅r2 drdθ= 12(∫0π/21 dθ)⋅(∫042rsin⁡(r2) dr)= 12⋅(π2)⋅[−12cos⁡(r2)]042= π42(1−cos⁡32)\begin{align*} I_2 =&\, \int_0^{\pi/2} \int_0^{4\sqrt{2}} \sin(r^2) \cdot \frac{r}{\sqrt{2}}\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \int_0^{\pi/2} 1\,\mathrm{d}\theta \right) \cdot \left( \int_0^{4\sqrt{2}} r\sin(r^2)\,\mathrm{d}r \right) \\[4mm] =&\, \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot \left[ -\frac{1}{2}\cos(r^2) \right]_0^{4\sqrt{2}} \\[4mm] =&\, \frac{\pi}{4\sqrt{2}} \left( 1 - \cos 32 \right) \end{align*}

故 (14) 處應填入 π42(1−cos⁡32)\displaystyle\boxed{\frac{\pi}{4\sqrt{2}} (1 - \cos 32)}。