題目

Problem

4. Let $f$ be a smooth function and $F(x) = \displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2x}} \frac{t f(t)}{e^{t^2}}\,\mathrm{d}t$ . (10%)

Find $F'(x)$ . $\underline{\quad (7) \quad}$ (Your answer would contain $f$ )

Suppose that $F(x) = f(\sqrt{2x})$ . Solve the integral equation for $f$ . $\underline{\quad (8) \quad}$

解答

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利用微積分基本定理的第一形式與萊布尼茲法則求導。
設 $G(x) = \int_{\sqrt{2}}^{h(x)} g(t)\,\mathrm{d}t$ ，其導數為 $G'(x) = g(h(x)) \cdot h'(x)$ 。
這裡 $h(x) = \sqrt{2x}$ ， $g(t) = \frac{t f(t)}{e^{t^2}}$ 。

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令 $g(t) = \frac{t f(t)}{e^{t^2}} = t f(t) e^{-t^2}$ 。根據萊布尼茲法則，對 $F(x) = \displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2x}} g(t)\,\mathrm{d}t$ 求導：

F'(x) = g(\sqrt{2x}) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sqrt{2x}) = \left( \sqrt{2x} f(\sqrt{2x}) e^{-(\sqrt{2x})^2} \right) \cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 \right) = \left( \sqrt{2x} f(\sqrt{2x}) e^{-2x} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2x}} = f(\sqrt{2x}) e^{-2x}

故 (7) 處應填入 $\displaystyle\boxed{f(\sqrt{2x}) e^{-2x}}$ 。

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已知條件為 $F(x) = f(\sqrt{2x})$ ，與 (a) 中求得的 $F'(x) = f(\sqrt{2x}) e^{-2x}$ 結合，可得常微分方程： $F'(x) = F(x) e^{-2x} \implies F'(x) - e^{-2x}F(x) = 0$
這是一階線性齊次微分方程，可用分離變數法求解。
利用初始值 $F(1) = \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \dots = 0$ 確定常數 $C$ 。
最終求出 $f(x)$ 。

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將 $F(x) = f(\sqrt{2x})$ 代入 (a) 得到的導數式：

F'(x) = F(x) e^{-2x} \implies \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} = F e^{-2x}

當 $F(x) \neq 0$ 時，分離變數：

\frac{1}{F}\,\mathrm{d}F = e^{-2x}\,\mathrm{d}x \implies \ln|F| = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C_0 \implies F(x) = C \exp\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right)

利用積分的定義，當上限與下限相等時，積分為 $0$ ：

F(1) = \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{t f(t)}{e^{t^2}}\,\mathrm{d}t = 0

代回通解中：

F(1) = C \exp\left(-\frac{1}{2}e^{-2}\right) = 0 \implies C = 0

因此，唯一的連續解為：

F(x) = 0

由於 $f(\sqrt{2x}) = F(x) = 0$ ，這表示對於所有自變數 $u \ge 0$ ，皆有：

f(u) = 0

故此積分方程的唯一解為 $\boxed{f(x) = 0}$ 。