1. 求定義域：
   • 根號內必須大於等於 $0$： $x^4+2x^3 \ge 0$ 且 $x^4-x^3 \ge 0$。
   • 分母根號內必須嚴格大於 $0$（分母不能為零）： $x^2-5x > 0$。
2. 確定定義域為 $(-\infty, -2] \cup (5, \infty)$。
3. 垂直漸近線：檢查邊界點 $x = -2$ 和 $x = 5$ 處的單邊極限。若極限為 $\pm\infty$，則該點即為垂直漸近線。

第一步：求定義域

1. $x^4+2x^3 \ge 0 \implies x^3(x+2) \ge 0 \implies x \ge 0$ 或 $x \le -2$。
2. $x^4-x^3 \ge 0 \implies x^3(x-1) \ge 0 \implies x \ge 1$ 或 $x \le 0$。
   • 以上兩者交集（分子有定義）： $x \ge 1$ 或 $x \le -2$ 或 $x = 0$。
3. 分母大於零： $x^2-5x > 0 \implies x(x-5) > 0 \implies x > 5$ 或 $x < 0$。

綜合以上三點，函數的定義域為：

第二步：尋找垂直漸近線

邊界候選點為 $x = -2$ 與 $x = 5$。

• 對於 $x \to -2^-$： 分母 $\sqrt{(-2)^2 - 5(-2)} = \sqrt{14} \neq 0$。 分子 $\sqrt{16-16} - \sqrt{16+8} = -\sqrt{24} \neq 0$。 極限值為有限值，故 $x = -2$ 不是垂直漸近線。

• 對於 $x \to 5^+$： 當 $x > 5$ 時，我們有：

  $$f(x) = \frac{x\left(\sqrt{x+2} - \sqrt{x-1}\right)}{\sqrt{x-5}}$$

  當 $x \to 5^+$，分子趨近於 $5(\sqrt{7} - 2) > 0$，而分母趨近於 $0^+$。 故：

  $$\lim_{x\to 5^+} f(x) = +\infty$$

  因此， $x = 5$ 為垂直漸近線。

故 (3) 處應填入 $\displaystyle\boxed{x = 5}$。

1. 水平漸近線需計算 $\lim_{x\to\infty} f(x)$ 與 $\lim_{x\to-\infty} f(x)$。
2. 當 $x \to \infty$：分子提取 $x^2$，分母提取 $x$，並利用分子有理化（乘共軛項）來消除未定式。
3. 當 $x \to -\infty$：注意 $\sqrt{x^2} = |x| = -x$。為防正負號出錯，可令 $u = -x \to \infty$ 再進行極限計算。

第一步：求 $x \to \infty$ 的極限

當 $x > 5$ 時，我們化簡 $f(x)$：

分子乘以共軛項有理化：

分子分母同時除以 $x$：

當 $x \to \infty$ 時：

第二步：求 $x \to -\infty$ 的極限

令 $u = -x$，當 $x \to -\infty$ 時 $u \to +\infty$。代入得：

分子有理化：

分子分母同時除以 $u$：

當 $u \to \infty$ 時：

故水平漸近線為 $y = \frac{3}{2}$ 及 $y = -\frac{3}{2}$。

故 (4) 處應填入 $\displaystyle\boxed{y = \pm \frac{3}{2}}$。