1. 封閉圍道積分最適合使用格林定理 (Green’s Theorem)： $W = \oint_C P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = \iint_T \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}A$
2. 對 $\mathbf{F} = \langle \sqrt{1+x^3}, xy \rangle$ 求偏導： $\frac{\partial Q}{\partial x} = y$， $\frac{\partial P}{\partial y} = 0$。
3. 描繪三角形 $T$ 的邊界線，將二重積分轉化為逐次積分計算。

由格林定理：

三角形 $T$ 的頂點為 $(0,0), (1,0), (2,2)$：

• 下邊界為 $y=0$。
• 左上邊界為連接 $(0,0)$ 與 $(2,2)$ 的直線： $y = x \implies x = y$。
• 右下邊界為連接 $(1,0)$ 與 $(2,2)$ 的直線：斜率為 $2$，方程式為 $y = 2(x-1) \implies x = \frac{y}{2} + 1$。

對區域沿 $x$ 軸方向切片（先對 $x$ 積分）， $y$ 範圍自 $0$ 至 $2$：

1. 將錐面投影至 $xy$ 平面： 交線為 $\sqrt{2x^2+2y^2} = 1-x \implies (x+1)^2 + 2y^2 = 2$，此為一個橢圓。
2. 面積微元 $\mathrm{d}S = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。對於錐面可算得常數 $\sqrt{3}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。
3. 利用橢圓的平移極座標變換： $x = \sqrt{2}r\cos\theta - 1, y = r\sin\theta$，雅可比行列式 $J = \sqrt{2}r$。
4. 計算積分。

第一步：求投影區域 $R_{xy}$

錐面 $z = \sqrt{2x^2+2y^2}$ 與平面 $x+z=1 \implies z = 1-x$（限制 $x \le 1$）交線在 $xy$ 平面的投影為：

投影區域為橢圓板 $R_{xy} = \left\{ (x,y) : \frac{(x+1)^2}{2} + y^2 \le 1 \right\}$。

第二步：求面積微元 $\mathrm{d}S$

第三步：進行橢圓座標變換

令：

則變換的雅可比行列式（Jacobian）為 $J = \sqrt{2}r$。新變數區間為 $0 \le r \le 1$, $0 \le \theta \le 2\pi$。

第四步：計算積分

由於 $\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta = 0$：

1. 由高斯散度定理（Divergence Theorem），通量為： $\iint_D \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \,\mathrm{d}V$
2. 首先求出散度 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 - x^2 - 4y^2 - z^2$。
3. 為使積分值最大，積分區域 $V$ 必須恰好是散度非負的區域：即 $1 - x^2 - 4y^2 - z^2 \ge 0 \implies x^2+4y^2+z^2 \le 1$。
4. 利用橢圓體變換，將三階積分轉換為球座標求值，得出最終數值。

第一步：求散度

第二步：最大化區域選擇

若要使三重積分 $\displaystyle\iiint_V (1 - x^2 - 4y^2 - z^2)\,\mathrm{d}V$ 達到最大值，積分區域 $V$ 的邊界表面 $D$ 必須精確包圍被積函數大於等於 $0$ 的所有點。 因此，最大化區域 $V$ 滿足：

此為一橢圓體。

第三步：計算最大通量積分值

使用變數代換將橢圓體轉為球體：

新區域 $U = \{ (u,v,w) : u^2+v^2+w^2 \le 1 \}$，為一單位球體。

轉化為球座標（$\rho \in [0, 1], \phi \in [0, \pi], \theta \in [0, 2\pi]$）：