1. 由於 $\frac{1}{(e^y-y)^2}$ 無法直接對 $y$ 進行初等積分，我們必須交換積分順序。
2. 描繪積分區域： $1 \le x \le e$, $\ln x \le y \le 1$。
3. 轉換為先對 $x$ 後對 $y$ 積分： $0 \le y \le 1$, $1 \le x \le e^y$。
4. 交換後，先對 $x$ 積分極為簡單，隨後使用代換積分法求解 $y$ 積分。

原積分區域為：

其邊界為 $y = \ln x \implies x = e^y$，以及 $y = 1$。 改寫為以 $y$ 為主導的區間：

交換積分順序：

令 $u = e^y - y \implies \mathrm{d}u = (e^y - 1)\,\mathrm{d}y$。

• 當 $y=0 \implies u=1$。
• 當 $y=1 \implies u=e-1$。

代回積分式：

1. 描繪區域 $R$： 夾在圓 $x^2+y^2=1$ 與 $x^2+y^2=4$ 之間，位於第一象限（$x\ge 0, y\ge 0$），但上方受到平面直線 $y=1$ 的限制。
2. 直線 $y=1$ 與外圓 $r=2$ 交點滿足 $2\sin\theta = 1 \implies \theta = \pi/6$。
3. 採用極座標表示此區域，需分為兩區間：
   • $\theta \in [0, \pi/6]$ 時， $r$ 從 $1$ 變動到 $2$。
   • $\theta \in [\pi/6, \pi/2]$ 時， $r$ 從 $1$ 變動到直線 $y=1 \implies r = \csc\theta$。
4. 寫出積分式並計算。

將區域 $R$ 轉為極座標：

• 下邊界圓 $r = 1$。
• 右半部分外邊界圓 $r = 2$，對應角度 $0 \le \theta \le \pi/6$。
• 左半部分外邊界為直線 $y = 1 \implies r\sin\theta = 1 \implies r = \csc\theta$，對應角度 $\pi/6 \le \theta \le \pi/2$。

原二重積分在極座標下為（積項微元 $\mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$）：

分區域積分：

計算第一項：

計算第二項：

相加：