1. 三變數函數的線性逼近（Linearization）公式為： $L(x, y, z) = f(x_0, y_0, z_0) + f_x(x_0, y_0, z_0)(x-x_0) + f_y(x_0, y_0, z_0)(y-y_0) + f_z(x_0, y_0, z_0)(z-z_0)$ 其中 $(x_0, y_0, z_0) = (1, 1, 0)$。
2. 首先求得 $f(1, 1, 0)$。
3. 利用微積分基本定理與萊布尼茲法則（Leibniz Rule），求得 $f_x, f_y, f_z$ 的偏導數。
4. 代入點 $(1, 1, 0)$，整理得線性方程式。

第一步：求 $f(1,1,0)$

第二步：求偏導數

設 $g(t) = \dfrac{e^{t^2}}{t^2+4}$。

• 關於 $x$ 求導（上限為 $x-y^2$）：

  $$f_x(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial x} \int_z^{x-y^2} g(t)\,\mathrm{d}t = g(x-y^2) \cdot \frac{\partial(x-y^2)}{\partial x} = \frac{e^{(x-y^2)^2}}{(x-y^2)^2+4} \cdot 1$$

  代入 $(1,1,0)$ 得：

  $$f_x(1,1,0) = \frac{e^0}{0^2+4} = \frac{1}{4}$$

• 關於 $y$ 求導（上限為 $x-y^2$）：

  $$f_y(x,y,z) = g(x-y^2) \cdot \frac{\partial(x-y^2)}{\partial y} = \frac{e^{(x-y^2)^2}}{(x-y^2)^2+4} \cdot (-2y)$$

  代入 $(1,1,0)$ 得：

  $$f_y(1,1,0) = \frac{e^0}{0^2+4} \cdot (-2) = -\frac{1}{2}$$

• 關於 $z$ 求導（下限為 $z$）：

  $$f_z(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial z} \int_z^{x-y^2} g(t)\,\mathrm{d}t = -g(z) \cdot 1 = -\frac{e^{z^2}}{z^2+4}$$

  代入 $(1,1,0)$ 得：

  $$f_z(1,1,0) = -\frac{e^0}{0^2+4} = -\frac{1}{4}$$

第三步：寫出線性逼近