題目

Problem

3. Consider a function $f : (-\pi, \pi) \to \mathbb{R}$ defined by

f(x) = \begin{cases} \sin x + \frac{ax}{\sin x} & \text{if } -\pi < x < 0 \\ x^2 + bx + 5 & \text{if } 0 \le x < \pi \end{cases}

If $f$ is differentiable on $(-\pi, \pi)$ , then $(a, b) = \underline{\quad (6) \quad} \,.$

解答

展開

若 $f$ 在 $(-\pi, \pi)$ 上可微，則 $f$ 在 $x=0$ 處必須連續且可微。
連續性：左極限必須等於右極限，即 $\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^+} f(x) = f(0)$ 。藉此決定 $a$ 。
可微性：左導數必須等於右導數，即 $f'_-(0) = f'_+(0)$ 。藉此決定 $b$ 。

展開

當 $x \to 0^-$ 時，左極限為：

\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} \left( \sin x + a\frac{x}{\sin x} \right) = 0 + a(1) = a

當 $x \to 0^+$ 時，右極限及函數值為：

\lim_{x\to 0^+} f(x) = f(0) = 0^2 + b(0) + 5 = 5

因為 $f(x)$ 在 $x=0$ 處連續，故：

a = 5

利用導數定義求左導數（此時 $a=5, f(0)=5$ ）：

f'_-(0) = \lim_{x\to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0^-} \frac{\sin x + \frac{5x}{\sin x} - 5}{x} = \lim_{x\to 0^-} \left( \frac{\sin x}{x} + 5 \cdot \frac{x - \sin x}{x\sin x} \right)

我們已知：

\lim_{x\to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1

對於第二項，利用泰勒展開式 $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ ：

\lim_{x\to 0^-} \frac{x - \sin x}{x\sin x} = \lim_{x\to 0^-} \frac{\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x(x + O(x^3))} = \lim_{x\to 0^-} \frac{\frac{x^3}{6}}{x^2} = 0

故：

f'_-(0) = 1 + 5(0) = 1

接著求右導數：

f'_+(0) = \lim_{x\to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0^+} \frac{x^2+bx+5-5}{x} = \lim_{x\to 0^+} (x+b) = b

因為 $f(x)$ 在 $x=0$ 處可微，故左導數等於右導數：

b = f'_-(0) = 1

因此，數對 $(a, b) = \boxed{(5, 1)}$ 。