題目

Problem

Let the region $R$ be enclosed by the curves $y=x^2$ and $y=2-x^2$ . Find the volume of the solid obtained by rotating the region $R$ about $x=1$ .

解答

展開

兩曲線在 $x=\pm1$ 相交。繞垂直直線 $x=1$ 旋轉時，以圓柱殼法直接累加半徑乘高度的體積元素。

展開

區域高度為

(2-x^2)-x^2=2-2x^2.

在 $-1\le x\le1$ ，圓柱殼半徑為 $1-x$ 。故

\begin{align*} V =&\,2\pi\int_{-1}^1(1-x)(2-2x^2)\,\mathrm{d}x\\[2mm] =&\,2\pi\int_{-1}^1(2-2x^2)\,\mathrm{d}x\\[2mm] =&\,\boxed{\frac{16\pi}{3}}. \end{align*}