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109 台灣大學微積分(B) 第 8 題

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109學年度 · 109台大微積分B · 第 8 題

題目

Problem

  1. (a) ∑n=0∞3n(2n)!=(19)‾\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{(2n)!} = \underline{\quad(19)\quad}.

(b) The Maclaurin series (the Taylor series at a=0a=0) for cos⁡−1x\cos^{-1}x is (20)‾\underline{\quad(20)\quad}.

解答

解法一

思路

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  • (a) 偶次階乘的級數正是雙曲餘弦的 Maclaurin 級數。
  • (b) 先展開 11−x2\frac1{\sqrt{1-x^2}}，逐項積分得到 sin⁡−1x\sin^{-1}x，最後利用 cos⁡−1x=π2−sin⁡−1x\cos^{-1}x=\frac\pi2-\sin^{-1}x。

答題過程

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(a)

cosh⁡t=∑n=0∞t2n(2n)!.\cosh t=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{(2n)!}.

令 t=3t=\sqrt3，即得

(19)=cosh⁡(3).\boxed{(19)=\cosh(\sqrt3)}.

(b) 由二項式級數，

11−x2=∑k=0∞(2k)!4k(k!)2x2k,∣x∣<1.\frac1{\sqrt{1-x^2}} =\sum_{k=0}^\infty\frac{(2k)!}{4^k(k!)^2}x^{2k}, \qquad |x|<1.

逐項積分並利用 sin⁡−10=0\sin^{-1}0=0：

sin⁡−1x=∑k=0∞(2k)!4k(k!)2(2k+1)x2k+1.\sin^{-1}x =\sum_{k=0}^\infty\frac{(2k)!}{4^k(k!)^2(2k+1)}x^{2k+1}.

故

(20)=cos⁡−1x=π2−∑k=0∞(2k)!4k(k!)2(2k+1)x2k+1(∣x∣≤1).\boxed{(20)=\cos^{-1}x =\frac\pi2-\sum_{k=0}^\infty \frac{(2k)!}{4^k(k!)^2(2k+1)}x^{2k+1}} \quad (|x|\le1).