題目

Problem

$\displaystyle f(x)=\begin{cases}|x|-1, & \text{for } -1\le x\le 3,\\ (x-6)^2-4, & \text{for } 3<x\le 10.\end{cases}$ $\displaystyle g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ , for $-1\le x\le 10$ .

(a) Choose correct statement(s) about $g(x)$ : $\underline{\quad(8)\quad}$

i. $g(x)$ is discontinuous at $x=3$ .

ii. $g(x)$ is not differentiable at $x=3$ .

iii. $g(x)$ is differentiable at $x=0$ and $g'(0)=-1$ .

iv. $g(x)<0$ for $-1\le x<0$ .

(b) The local minimum values of $g(x)$ occur at $x=\underline{\quad(9)\quad}$ .

解答

展開

展開

當 $x\le3$ 時， $f(x)=|x|-1$ ，且

g(x)=\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t.

在 $x=3$ ， $f(3)=2$ ，但右極限為 $(3-6)^2-4=5$ ，所以 $f$ 在 $3$ 不連續。積分函數 $g$ 仍連續，但左右導數不同，故 (i)、(ii) 分別為錯、對。又 $g'(0)=f(0)=-1$ ，所以 (iii) 正確；而對 $-1\le x<0$ ，

g(x)=-\int_x^0(-t-1)\,\mathrm{d}t=-x-\frac{x^2}{2}>0,

故 (iv) 錯誤。因此

\boxed{(8)=\text{ii、iii}}.

除 $x=3$ 外， $g'(x)=f(x)$ 。 $f(x)=0$ 的候選點為 $x=-1,1,4,8$ ；檢查符號可知 $g'$ 在 $x=1$ 與 $x=8$ 由負變正，故

\boxed{(9)=1,\ 8}.

在各光滑區間， $g''(x)=f'(x)$ ：

g''(x)= \begin{cases} -1,&-1<x<0,\\ 1,&0<x<3,\\ 2x-12,&3<x<10. \end{cases}

凹凸性在 $x=0$ 、 $x=3$ 與 $x=6$ 都改變，因此

\boxed{(10)=0,\ 3,\ 6}.