題目

Problem

(a) $f(x) = [\ln(1+x^2)]^x$ . $\displaystyle\frac{d}{dx}f(x) = \underline{\quad(4)\quad}$ .

(b) $x^3-y^2+y^3=x$ . At $(x,y)=(0,1)$ , $\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2} = \underline{\quad(5)\quad}$ .

(d) $f(x,y)=\displaystyle\frac{\sin(x^2y)}{x^2+y^2}$ for $(x,y)\ne(0,0)$ and $f(0,0)=0$ . The directional derivative of $f$ along $\mathbf{u}=(\cos\theta,\sin\theta)$ at $(0,0)$ is $\underline{\quad(7)\quad}$ .

解答

解法一

思路

展開

(a) 變數同時出現在底數與指數，先取對數再微分。
(b) 對隱函數的一階關係再微分一次，最後才代入給定點。
(c) 對變上、下限積分使用微積分基本定理與連鎖規則。
(d) 函數在原點的形式不宜直接套梯度公式，回到方向導數的定義。

答題過程

展開

(a) 寫成指數函數：

f(x)=\exp\big(x\ln\ln(1+x^2)\big).

因此

\boxed{(4)=[\ln(1+x^2)]^x\left[\ln\ln(1+x^2)+\frac{2x^2}{(1+x^2)\ln(1+x^2)}\right]}.

(b) 對 $x^3-y^2+y^3=x$ 微分，

3x^2-2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+3y^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1,

故在 $(0,1)$ 有 $y'=1$ 。再對上式微分：

6x-2\big[(y')^2+yy''\big]+3\big[2y(y')^2+y^2y''\big]=0.

代入 $x=0,y=1,y'=1$ ，得到 $-2(1+y'')+3(2+y'')=0$ ，所以

\boxed{(5)=-4}.

(c) 設 $H(t)=e^{\sqrt t}$ 。由變上、下限積分的微分法則，

\begin{align*} f_x=&\,e^{\sqrt{xy}}\,y,\\[2mm] f_y=&\,e^{\sqrt{xy}}\,x,\\[2mm] f_z=&\,-e^{\sqrt z}. \end{align*}

因此

\boxed{(6)=\nabla f=\big(ye^{\sqrt{xy}},\,xe^{\sqrt{xy}},\,-e^{\sqrt z}\big)}.

(d) 沿單位方向 $\mathbf u=(\cos\theta,\sin\theta)$ 代入定義：

\begin{align*} D_{\mathbf u}f(0,0) =&\,\lim_{h\to0}\frac{f(h\cos\theta,h\sin\theta)}h\\[2mm] =&\,\lim_{h\to0} \frac{\sin(h^3\cos^2\theta\sin\theta)}{h^3}\\[2mm] =&\,\cos^2\theta\sin\theta. \end{align*}

故

\boxed{(7)=\cos^2\theta\sin\theta}.

109 台灣大學微積分(B) 第 2 題

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解法一

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答題過程