題目

10. Polar coordinate

x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta

. Cardioid

r=1-\sin\theta

. At the point

(x,y)=(1,0)

\dfrac{d^2y}{dx^2}=?

解答

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把心臟線以參數 $\theta$ 表示。先求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y'(\theta)}{x'(\theta)}$ ，再對 $\theta$ 求導並除以 $x'(\theta)$ ，即可得到二階導數。

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給定

x=(1-\sin\theta)\cos\theta, \qquad y=(1-\sin\theta)\sin\theta.

點 $(1,0)$ 對應 $\theta=0$ 。對 $\theta$ 微分：

\begin{align*} x'(\theta) =&\,-\cos(2\theta)-\sin\theta,\\[4mm] y'(\theta) =&\,\cos\theta(1-2\sin\theta). \end{align*}

因此在 $\theta=0$ ， $x'=-1$ 、 $y'=1$ ，且

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y'}{x'}.

再求導。由 $x''(0)=-1$ 、 $y''(0)=-2$ ，

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} \Big(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\Big)\Bigg|_{\theta=0} =&\,\frac{y''x'-y'x''}{(x')^2}\Bigg|_{\theta=0} =3,\\[4mm] \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} =&\,\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}(\mathrm{d}y/\mathrm{d}x)}{x'}\Bigg|_{\theta=0} =-3. \end{align*}

故 $\boxed{\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=-3}$ 。