微積分福音

108 台灣大學微積分(B) 第 9 題

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108學年度 · 108台大微積分B · 第 9 題

題目

Problem

PART 1: Fill in the blanks.

Work need not be shown, only answers will be graded.
4 points for each blank and 100 points total.
Each answer need to be clearly labeled on the answer sheet.
Use of any device with computer algebra system during the exam will result in zero points.

Let $R$ be the region below the curve $y=\sin^2 x$ when $0\le x\le \pi$ and $V$ be the volume of the solid obtained by rotating $R$ about the $y$ -axis. Then $V=\underline{\quad(12)\quad}$ .

解答

解法一

思路

展開

繞縱軸旋轉時，圓柱殼法最直接；再利用被積函數的對稱性。

答題過程

展開

繞 $y$ 軸使用圓柱殼法：

V=2\pi\int_0^\pi x\sin^2x\,\mathrm{d}x.

由 $\sin^2x$ 對 $x=\pi/2$ 對稱，

\int_0^\pi x\sin^2x\,\mathrm{d}x =\frac\pi2\int_0^\pi\sin^2x\,\mathrm{d}x =\frac{\pi^2}{4}.

故 $\boxed{V=\frac{\pi^3}{2}}$ 。