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108 台灣大學微積分(B) 第 3 題

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108學年度 · 108台大微積分B · 第 3 題

題目

Problem

PART 1: Fill in the blanks.

  • Work need not be shown, only answers will be graded.

  • 4 points for each blank and 100 points total.

  • Each answer need to be clearly labeled on the answer sheet.

  • Use of any device with computer algebra system during the exam will result in zero points.

  1. If x5+y5=33x^5+y^5=33, then d2ydx2∣x=1=(4)‾\left.\dfrac{d^2y}{dx^2}\right|_{x=1}=\underline{\quad(4)\quad}.

解答

解法一

思路

展開

先由原式確定通過的點，再進行兩次隱函數微分。

答題過程

展開

先由 15+y5=331^5+y^5=33 得 y=2y=2。隱微分：

5x4+5y4y′=0,y′=−x4y4.5x^4+5y^4y'=0, \qquad y'=-\frac{x^4}{y^4}.

再微分一次，

20x3+20y3(y′)2+5y4y′′=0.20x^3+20y^3(y')^2+5y^4y''=0.

在 (1,2)(1,2)，y′=−116y'=-\frac1{16}，因此

y′′=−4(1+8/256)16=−33128.y''=-\frac{4\big(1+8/256\big)}{16} =\boxed{-\frac{33}{128}}.