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108 台灣大學微積分(B) 第 17 題

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108學年度 · 108台大微積分B · 第 17 題

題目

Problem

PART 1: Fill in the blanks.

  • Work need not be shown, only answers will be graded.

  • 4 points for each blank and 100 points total.

  • Each answer need to be clearly labeled on the answer sheet.

  • Use of any device with computer algebra system during the exam will result in zero points.

  1. The area of the surface x2+y2+z2=4,(x−1)2+y2≤1x^2+y^2+z^2=4,(x-1)^2+y^2\le 1, is (22)‾\underline{\quad(22)\quad}.

解答

解法一

思路

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把球面投影到平面，並把上下半球的面積元素一起計入。

答題過程

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把球面投影到 xyxy 平面。圓柱條件給出 0≤r≤2cos⁡θ0\le r\le2\cos\theta、−π2≤θ≤π2-\frac\pi2\le\theta\le\frac\pi2；球的上下兩片面積元素合計為 44−r2 dA\frac4{\sqrt{4-r^2}}\,\mathrm{d}A。

S= ∫−π/2π/2∫02cos⁡θ4r4−r2 dr dθ= 8(π−2).\begin{align*} S =&\,\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta} \frac{4r}{\sqrt{4-r^2}}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,\boxed{8(\pi-2)}. \end{align*}