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108 台灣大學微積分(B) 第 16 題

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108學年度 · 108台大微積分B · 第 16 題

題目

Problem

PART 1: Fill in the blanks.

  • Work need not be shown, only answers will be graded.

  • 4 points for each blank and 100 points total.

  • Each answer need to be clearly labeled on the answer sheet.

  • Use of any device with computer algebra system during the exam will result in zero points.

  1. The volume of the solid described by x2+y2≤1x^2+y^2\le 1 and x2+y2+z2≤4x^2+y^2+z^2\le 4 is (21)‾\underline{\quad(21)\quad}.

解答

解法一

思路

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立體同時受圓柱與球限制，圓柱座標可直接寫出每個半徑的高度。

答題過程

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以圓柱座標積分。固定半徑 r≤1r\le1 時，球內的高度是 24−r22\sqrt{4-r^2}：

V= ∫02π∫0124−r2 r dr dθ= 4π3(8−33).\begin{align*} V =&\,\int_0^{2\pi}\int_0^1 2\sqrt{4-r^2}\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{4\pi}{3}(8-3\sqrt3)}. \end{align*}