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108 台灣大學微積分(B) 第 13 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分B

108學年度 · 108台大微積分B · 第 13 題

題目

Problem

PART 1: Fill in the blanks.

  • Work need not be shown, only answers will be graded.

  • 4 points for each blank and 100 points total.

  • Each answer need to be clearly labeled on the answer sheet.

  • Use of any device with computer algebra system during the exam will result in zero points.

  1. Let r⃗(t)=(etcos⁡t,etsin⁡t,et),−1≤t≤1\vec{r}(t)=(e^t\cos t,e^t\sin t,e^t),-1\le t\le 1.

  • The length of the curve is (17)‾\underline{\quad(17)\quad}.
  • The curvature at the point t=0t=0 is (18)‾\underline{\quad(18)\quad}.

解答

解法一

思路

展開

弧長由速度大小積分；曲率則直接使用空間曲線的叉積公式。

答題過程

展開 r⃗′(t)=et(cos⁡t−sin⁡t,sin⁡t+cos⁡t,1),∣r⃗′(t)∣=3et.\vec r'(t)=e^t(\cos t-\sin t,\sin t+\cos t,1), \qquad |\vec r'(t)|=\sqrt3e^t.

因此弧長為

∫−113et dt=3(e−e−1).\int_{-1}^1\sqrt3e^t\,\mathrm{d}t =\boxed{\sqrt3(e-e^{-1})}.

在 t=0t=0，r⃗′=(1,1,1)\vec r'=(1,1,1)、r⃗′′=(0,2,1)\vec r''=(0,2,1)，故

κ=∣r⃗′×r⃗′′∣∣r⃗′∣3=6(3)3=23.\kappa=\frac{|\vec r'\times\vec r''|}{|\vec r'|^3} =\frac{\sqrt6}{(\sqrt3)^3} =\boxed{\frac{\sqrt2}{3}}.